- 三角函数与三角恒等变换
- 共3475题
在中,三内角
的对边分别为
且满足(2b-c)cosA= acosC。
(1)求角A的大小;(2)若,求
周长
的取值范围。
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1)在△ABC中,∵,
由正弦定理有:, ………2分
∴,即
,
∵,∴
,又∵
,∴
。 ………6分
(2)由已知,∴
,即
,
由正弦定理得:,
, ………8分[来源:学,科,网]
。 ………10分
∵,∴
,∴
,∴
,
故△ABC的周长l的取值范围是。 ………12分
解法二:周长,由(1)及余弦定理得:
,∴
, ………8分
∴,∴
, ………11分
又,∴
,
即△ABC的周长l的取值范围是……… 12分
知识点
已知△ABC中,D是BC边的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F,若
的最小值是
正确答案
解析
由已知得:,
,
所以,即
,
因为D,E,F三点共线,
所以,
又,由基本不等式可得:
所以,即
的最小值是1,
故选:A
知识点
已知,O为坐标原点,
设
(1)若,写出函数
的单调速增区间;
(2)若函数y=f(x)的定义域为[],值域为[2,5],求实数a与b的值,
正确答案
(1)(2)
解析
(1)f(x)=-2asin2x+2asinxcosx+a+b=2asin+b,
∵a>0,∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+得, kπ-≤x≤kπ+,k∈Z。
∴函数y=f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z)
(2)x∈[,π]时,2x+∈[,], sin∈[-1,]
当a>0时,f(x)∈[-2a+b,a+b]
当a<0时,f(x)∈[a+b,-2a+b]
综上知,
知识点
已知椭圆的离心率为
, 且过点
, 记椭圆的左顶点为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设垂直于轴的直线
交椭圆于
两点, 试求
面积的最大值;
(3) 过点作两条斜率分别为
的直线交椭圆于
两点, 且
, 求证: 直线
恒过一个定点。
正确答案
见解析
解析
解:(1)由,解得
,所以椭圆
的方程为
(2)设,
,则
又, 所以
,
当且仅当时取等号
从而, 即
面积的最大值为
(3)因为A(-1,0),所以,
由,消去y,得
,解得x=-1或
,
∴点
同理,有,而
,
∴…12分 ∴直线BC的方程为
,
即,即
所以,则由
,得直线BC恒过定点
知识点
已知为半圆
的直径,
,
为半圆上一点,过点
作半圆的切线
,过点
作
于
,交圆于点
,
。
(1)求证:平分
;
(2)求的长。
正确答案
见解析
解析
(1)连结,因为
,所以
, 2分
因为为半圆的切线,所以
,又因为
,所以
∥
,
所以,
,所以
平分
,··················· 4分
(2)由(1)知,················· 6分
连结,因为
四点共圆,
,所以
,··············· 8分
所以,所以
,·········· 10分
知识点
设函数,其中向量
,
,
.
(1)求的最小正周期与单调递减区间;
(2)在中,
、
、
分别是角
的对边,已知
,
的面积为
,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1)
……(3分)
令
………(6分)
(2)由,
,在
中,
∵ ……(8分)
又∵ 解得
……(9分)
∴在中,由余弦定理得:
……(10分)
由 ……(11分)
…(12分)
知识点
已知函数,设
为
的导数,
。
(1)求的值;
(2)证明:对任意的,等式
成立。
正确答案
见解析。
解析
(1)由已知,得
于是
所以
故
(2)证明:由已知,得等式两边分别对x求导,得
,
即,类似可得
,
,
.
下面用数学归纳法证明等式对所有的
都成立.
(i)当n=1时,由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即.
因为
,
所以.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的
都成立.
令,可得
(
)。
所以(
)。
知识点
在中,
分别是角
的对边. 已知
,
.
(1)若,求角
的大小;
(2)若,求边
的长.
正确答案
(1)(2)4
解析
解析:(1)由正弦定理 ,得
,解得
,……2分
由于 为三角形内角,
,则
, ……4分
所以, ………5分
(2)依题意, ,即
,整理得
7分
又 ,所以
. ………10分
另解:
由于 ,所以
,解得
, ………7分
由于 ,所以
, ………8分
由 ,所以
。
由勾股定理 ,解得
. ………10分
知识点
设函数,其中向量
,
,
.
(1)求的最小正周期与单调递减区间;
(2)在中,
、
、
分别是角
的对边,已知
,
的面积为
,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1)
……(3分)
令
………(6分)
(2)由,
,在
中,
∵ ……(8分)
又∵ 解得
……(9分)
∴在中,由余弦定理得:
……(10分)
由 ……(11分)
…(12分)
知识点
已知二项式的展开式中的第三项为常数项,则n= 。
正确答案
8
解析
依题意有T3=Cn(2)(x(3))n-2(-x(1))2=2(n(n-1))x3(n-8)中x的指数为0,所以n=8.
知识点
已知在中,
所对的边分别为
,若
且
(1)求角A、B、C的大小;
(2)设函数,求函数
的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离.
正确答案
(1),
(2)
解析
解析:(1)由题设及正弦定理知:,得
∴或
,即
或
当时,有
, 即
,得
,
;
当时,有
,即
不符题设
∴,
…………………7分
(2) 由(1)及题设知:
当时,
为增函数
即的单调递增区间为
. ………11分
它的相邻两对称轴间的距离为 . ………12分
知识点
在△ABC中,a,b,c是角A,B,C对应的边,向量,
,且
.
(1)求角C;
(2)函数的相邻两个极值的横坐标分别为
,求
的单调递减区间.
正确答案
见解析
解析
解析:(1)因为,所以
,
故,
. ---------5分
(2)
=
=
= ----------8分
因为相邻两个极值的横坐标分别为、
,所以
的最小正周期为
,
所以 ---------10分
由
所以的单调递减区间为
. ---------12分
知识点
在中,角
的对边分别为
,
,
,且
。
(1)求角的大小;
(2)当取最大值时,求角
的大小
正确答案
见解析
解析
(1)由,得
,从而
由正弦定理得
,
,
(2)
由得,
时,
即时,
取最大值
知识点
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E,F分别为PC,CD的中点,DE = EC。
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA = a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1),
分别为
的中点,
为矩形,
,又
面
,
面
,
平面
⊥平面
(2) ,又
,
又,所以
面
,
·
法一:建系为
轴,
为
轴,
为
轴,
,
,
平面法向量
,平面
法向量
,可得
.
法二:连交
于点
,四边形
为平行四边形,所以
为
的中点,连
,
则,
面
,
,
作于
点,所以
面
,
连,则
,
即为所求
在中,
,
解得
知识点
设函数,其中向量
,
,x∈R.
(1)求的值及函数
的最大值;
(2)求函数的单调递增区间。
正确答案
见解析
解析
(1),
,
=
·
=
.
又
函数
的最大值为
.
当且仅当(
Z)时,函数
取得最大值为
.
(2)由(
Z),
得 (
Z).
函数
的单调递增区间为[
](
Z).
知识点
扫码查看完整答案与解析