三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是

正确答案

8

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.凹函数的性质定理为若函数f（x）在区间D上是凹函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≥f（）.已知函数y=cos x在（,）上是凹函数,若x1,x2,x3∈（,）,且x1+x2+x3=2π,则cos x1+cos x2+cos x3的最小值为（　　）.

A-

B-

C

D

正确答案

A

解析

∵y=cos x在(,)上是凹函数,且x1,x2,x3∈(,),∴≥f(),即cos x1+cos x2+cos x3≥3cos=-,故选A.

知识点

三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

4．函数的最小值为___________．

正确答案

解析

∵

而∴

∴

考查方向

本题主要考查三角化简，是容易题．

解题思路

先逆用二倍角公式，然后用辅助角公式，最后利用三角函数的有界性求得函数的最小值．

易错点

三角公式很多，容易混淆公式的使用；逆用公式易出错．

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9. 在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）

A2

B

C

D3

正确答案

A

解析

如图，设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，所以

所以当时，有最大值

考查方向

本题主要考查大家建立函数模型设自变量，解决函数最值问题的能力，考查了二次函数的最值问题和余弦定理的运用，计算量较大，难度中档，属高考热点之一。关于建立函数模型求最值的问题，在高考中常会结合均值不等式和导数等问题一起考查。

解题思路

如图，

设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，用余弦定理得到之间的关系式，再根据余弦值求出正弦值，再用正弦定理表示面积，求出最值。

易错点

不能选取合适的变量建立函数模型，或在复杂计算过程中出错

知识点

解三角形的实际应用三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知是函数的一个极大值点，则的一个单调递减区间是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由是函数的一个极大值点得，所以，得，所以，令，得，所以的单调递减区间是，故选B。

考查方向

本题主要考查了三角函数最值和单调区间的求法,属于比较简单问题，在各类试卷中出现的频率较高。

解题思路

1、先由是函数的一个极大值点求出；

2、然后求函数的单调递减区间，最后令即可得到答案。

易错点

1、将三角函数的最值以极值的形式出现导致无法理解题意致误。

2、将三角函数的最值、单调区间记错、求错出错。

知识点

正弦函数的单调性三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.函数在区间上的小值是

正确答案

解析

，再根据求出的取值范围，由二次函数的性质求最小值。

考查方向

本题的考点是求三角函数的最值，考察用配方法求复合三角函数在闭区间上的最值，本题是三角函数求值里常见的一种题型，其特点是借助二次函数的图像求最值.

解题思路

本题属于简单题，

（1）利用同角三角函数的关系化成同一三角函数并配方

（2）利用二次函数的图像求最值

易错点

利用二次函数的图像求最值

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.设函数的图象在时取最大值，它的周期是，则（）

A

B在区间上是减函数

C

D的最大值是A；

正确答案

B

解析

由题得周期为，得，,时单调递减

考查方向

本题主要考察了三角函数的图像，平移，周期，最值，对称轴和对称中心难度系数不高，

解题思路

该题首先根据周期求出，在根据对称轴的最大值得出，最后找到该三角函数的单调性

易错点

本题易错在（１）忽略Ａ为负值（２）对称中心计算错误（３）单调性不能判断

知识点

正弦函数的图象正弦函数的单调性正弦函数的对称性三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得t1==h，

设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t）=PQ=

=

=，

当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，

∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t

∴f（t）=

∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，

故f（t）的最大值超过了3千米．

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

15．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）0

解析

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期．

（Ⅱ）因为，所以，所以．

当时，函数取得最小值;

当时，函数取得最大值,

因为,

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为

考查方向

本题主要考察了三角函数的图象与性质，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形公式；二是会用性质，熟悉单调性、周期性、对称性、和最值问题。

易错点

1、本题易在化简的过程汇总发生错误，导致最小正周期算错。

2、单调性分析不全面，导致题目无法进行。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.设函数.

（1）求函数的最小正周期和最值；

（2）若，其中A是面积为的锐角的内角，且，求边和的长．

正确答案

（1），最大值为，最小值为；

（2），．

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关三角函数的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（1），

∴函数f(x)的最小正周期.

当时，函数f(x)的最大值为；

当时，函数f(x)的最大值为.

（2）因为，即，

∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴.

∵，∴AC=3.

由余弦定理得：，

∴.

考查方向

本题考查了两角和与差的正弦、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形的面积公式等知识点。

解题思路

（1）先用两角和与差的正弦化简的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；

（2）先根据解析式求得角，从而由面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长．

易错点

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用余弦定理三角函数的最值

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

解析

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考查方向

解题思路

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考查方向

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点