三角函数与三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且.

（1）求角的值；

（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为,由余弦定理知

所以.

又因为,则由正弦定理得:,

所以,

所以.

（2）

由已知,则

因为,,由于,

所以, .

根据正弦函数图象,所以.

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则

A 　

B‍　　

C

D

正确答案

A

解析

∵=，=，

又∵，且，，，∴，，所以，解得.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量

（1）如果求a的值；

（2）若请判断的形状。

正确答案

见解析。

解析

（1）由余弦定理及已知条件得

联立方程组得…………5分

（2）化简得…………7分

当此时是直角三角形；

当，由正弦定理得

此时为等腰三角形.是直角三角形或等腰三角形.…12分

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在△ABC中，，C=120°，，则AB=　　。

正确答案

5

解析

∵cosA=，A为三角形内角，

∴sinA==，

∵sinC=sin120°=，BC=2，

∴由正弦定理=得：AB===5。

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在△ABC中，内角，，所对的边分别是，已知，，则cosC=

A 　

B‍　　　

C‍　　

D

正确答案

A

解析

∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，∴，=.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）。

（1）求曲线的离心率；

（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程。

正确答案

见解析

解析

解：（1）曲线的方程可化为：，

∴此曲线为椭圆，，

∴此椭圆的离心率，

（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，解得，

所以

当且仅当时， S取到最大值1.

（3）由得，

①

｜AB｜＝ ②

又因为O到AB的距离，所以　 ③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式检验，△＞0 ，

故直线AB的方程是

或或或，

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知是三角形的三个内角，向量，且

（1）求角A的大小；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）由题知，整理得

或

而使，舍去

另解：

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

等腰直角三角形ACB中∠C=90°，CA=CB=a，点P在AB上，且（0≤λ≤1），则的最大值为（　　）

Aa

B

C2a

D

正确答案

B,D

解析

如图所示，

A（a，0），B（0，a）。

∵（0≤λ≤1），

∴=+

=（a﹣λa，λa）。

∴=（a，0）•（a﹣λa，λa）

=（1﹣λ）a2≤a2，

∴当λ=0时，取得最大值为a2。

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

在中，为锐角，角所对应的边分别为，且，.

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）已知, 求的值.

正确答案

见解析

解析

解：（1）、为锐角，，

又，，

，

（2）由（1）知

,

由正弦定理得

，即，

，，

（3）由（1）知且，

解得

=

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知且，则=（　　）

A-6或-2

B-6

C2或-6

D2

正确答案

A

解析

若，则或，解得a= -6或a= -2,故选A。

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知正实数满足，若对任意满足条件的都有恒成立，则实数的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为正实数满足，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣（x+y）﹣2≥0，解得（x+y）≥2或（x+y）≤﹣1（舍去）由恒成立得恒成立，令t=x+y∈[2，+∞），则问题转化为m时恒成立，因为函数y=在[1，+∞）递增，所以要使原式成立只需m=2，故选A。

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

在△ABC中，。

（1）求cos C；

（2）设，求AC和AB。

正确答案

见解析

解析

（1）∵cosB=，B∈（0，π），

∴sinB==，

∵C=π﹣（A+B），A=，

∴cosC=﹣cos（+B）=﹣×+×=；

（2）根据正弦定理=得：AC===3，

再根据余弦定理得：AB2=9+5﹣2×3××=8，

则AB=2，

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

过抛物线焦点作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则为

A锐角三角形

B直角三角形

C不确定

D钝角三角形

正确答案

C

解析

,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C.

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

的值等于

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，选C.

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）

Asina=acosb

Bsina=-acosb

Ccosa=bsinb

Dsinb=-bsina

正确答案

B

解析

∵方程有两不同的解a，b，∴方程=k有两不同的解a，b，

∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，作出两个函数的图象，

函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），

在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根。

当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，

∴在B处的切线为y-sinb=f′（b）（x-b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，

∴=-cosb，∵O，A B三点共线，∴=，

∴=-cosb，∴sina=-acosb，故选B。

知识点

任意角的概念

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