函数恒成立问题
共47题

· 函数恒成立问题

函数恒成立问题
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题型：填空题

填空题 · 4 分

12．已知是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

24．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．

（1）判断函数是否是“函数”；

（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域．

正确答案

解：（1）若是“函数”，则存在常数，使得．

即时，对恒成立．而最多有两个解，矛盾，

因此不是“函数” ．

若是“函数”，则存在常数使得，

即存在常数对满足条件．因此是“函数” ．

（2）是一个“函数”，设有序实数对满足：

则恒成立．

当时，，不是常数．

因此，当时，

则有，

即恒成立．

即，

当，时，成立．

因此满足是一个“函数”，．

（3）函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即，

，．时，

．

因此，

综上可知当时函数的值域为．

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知识点

抽象函数及其应用函数恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．已知R上的连续函数g(x)满足：

①当时，恒成立(为函数的导函数)；

②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。

若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（）

D或

正确答案

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知识点

函数恒成立问题导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有 “性质”。现有函数：

①;

②；

③；

④．

则在区间上具有“性质”的函数为_________．

正确答案

①③④

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知识点

函数恒成立问题平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．设（为实常数）

（1）当时，证明：不是奇函数；

（2）设是实数集上的奇函数，求与的值；

（3）当是实数集上的奇函数时，证明对任何实数、，都有成立

正确答案

（1），

，

所以，

因此，不是奇函数；

（2）是奇函数时，

，

即对任意实数成立．

化简整理得，

这是关于的恒等式，所以

所以（舍）或．

（3），

因为，所以，，从而；

而对任何实数成立；

所以对任何实数、c都有成立．

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知识点

函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数恒成立问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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