函数恒成立问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，

25.若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

26.令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

27.当时，证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，所以函数为奇函数，又

，所以恒成立等价于

因为，知，，，由恒成立知；，所以m的取值范围为。

考查方向

二次函数的性质；导数的应用

解题思路

利用函数的性质将不等式恒成立转换成其他等价形式，由求得实数m的取值范围

易错点

求导错误，讨论参数取值范围时考虑不全面

知识点

函数性质的综合应用函数恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知（为实数），在处的切线方程为．

27.求的单调区间；

28.若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，由条件可得：

的减区间为，

没有递增区间；

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

先利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由⑴可知，在上的最小值为

只需对任意恒成立

令

当时，单调递减，当时，单调递增

而的最大值为只需；

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

先利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知函数.若当时,不等式>0恒成立,则实数m的取值范围是_________________.

正确答案

m≤-2

解析

令f(x)=(2-2-|x+2|)2,

要使f(x)=2+a有实根,

只需2+a是f(x)值域内的值.

∵f(x)的值域为[1,4),

∴1≤2+a<4,∴-1≤a<2.

知识点

函数恒成立问题不等式的应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.若λ>0对于任意非负实数x1,x2都有则最大的常数c=c(λ)=________.

正确答案

解析

　(i)当λ>2时,

当且仅当x1=x2=0时等号成立.

(ii)当0<λ≤2时,

当且仅当x1=x2时等号成立.

由(i)(ii)知,

知识点

函数恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.设f=3x-3-x+x3,若当t>0时,f（m+3t）+f（mt-t2）≤0恒成立,则实数m的取值范围是（　　）.

A（-∞,-1]

B[0,+∞）

C[-1,+∞）

D（-∞,0]

正确答案

A

解析

由题意知函数f是定义在R上的奇函数且为增函数,故f(m+3t)≤f(t2-mt),m+3t≤t2-mt对任意的t>0恒成立,即m≤对任意的t>0恒成立.令g(t)===(t+1)+-5≥-1,当且仅当t+1=,即t=1时等号成立,所以g(t)min=-1,故实数m的取值范围是(-∞,-1]

知识点

函数恒成立问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若函数的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　.

正确答案

解析

由,

设g(x)=x-ex,得g'(x)=1-ex,

显然x<0时,g'(x)>0,

此时函数g(x)递增;x>0时,g'(x)<0,

此时函数g(x)递减;于是当x=0时,

函数有最大值g(0)=-1,

于是函数g(x)的值域为(-∞,-1].

欲使x∈R时,

都有

则m的取值范围为(-1,+∞).

知识点

函数恒成立问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.已知函数f(x)=loga(1+x)在区间[1,+∞)上恒有|f(x)|>2,则a的取值范围为　　　　.

正确答案

解析

若a>1,由于在区间[1,+∞)上,

得loga(1+x)>0,

因此，恒成立,

即loga(1+x)>2,得恒成立,

因为2≤x+1,那么a2<2,

结合a>1,得

若0<a<1,由于1+x>1,

得loga(1+x)<0,

因此,|f(x)|>2恒成立,

即

得a-2<x+1恒成立,

因为2≤x+1,那么a-2<2,

结合0<a<1,得<a<1.

综上得,a的取值范围为

知识点

函数恒成立问题对数函数的图像与性质对数函数的单调性与特殊点

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若函数的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　.

正确答案

解析

由,

设g(x)=x-ex,得g'(x)=1-ex,

显然x<0时,g'(x)>0,

此时函数g(x)递增;x>0时,g'(x)<0,

此时函数g(x)递减;于是当x=0时,

函数有最大值g(0)=-1,

于是函数g(x)的值域为(-∞,-1].

欲使x∈R时,

都有

则m的取值范围为(-1,+∞).

知识点

函数恒成立问题

1

题型：填空题

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填空题 · 18 分

23．已知函数，若存在常数T（T>0），对任意都有，则称函数为T倍周期函数．

（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；

（2）证明：是T倍周期函数，且T的值是唯一的；

（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围．

正确答案

（1）不是；

（2）略；

（3）或．

解析

（1）设：

则对任意x恒成立

无解不是T倍周期函数

（2）设：则

对任意x恒成立

下证唯一性：

若，矛盾

是唯一的

（3）

同理：

显然：且

即单调递减

恒成立，

① 时

解得： ② 时

解得：

或

考查方向

本题考查函数性质、数列求和、数列的单调性、恒成立问题，考查了分类讨论的思想，考查学生综合分析问题的能力，既是新定义的学习型题，又是函数与数列相结合的综合题，属于中档题，在近几年各省市高考中出现的频率很高，常以压轴题的形式出现，整合函数、数列、解析几何、三角、向量等知识，体现数学多种思想方法．

解题思路

（1）假设h（x+T）=T•h（x），进而得出结论；

（2）通过设g（x+T）=T•g（x）并令x=0可知，分、两种情况证明唯一性即可；

（3）利用f（n+2）=2•f（n）及f（1）=1、f（2）=-4分别计算出n为奇数、偶数时的值，进而利用等比数列的求和公式计算可知S2n=-3（2n-1）、S2n-1=-2n+3，计算即得，再将恒成立问题转化为的最大值问题，分类讨论求得a的取值范围．

易错点

1．对新定义的概念T倍周期函数的不理解；

2．恒成立问题转化为求最值问题，不知道如何转化；

3．不知道如何求得的最大值．

知识点

抽象函数及其应用函数的周期性函数恒成立问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

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正确答案

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解题思路

易错点

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