- 直线、平面垂直的综合应用
- 共65题
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________。
正确答案
16π－16
解析
由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.
知识点
在
正确答案
3
解析
略。
知识点
如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝
（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（2）求三棱锥C－ABD的体积。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6.BC=2
正确答案
8
解析
由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积。
解：矩形的对角线的长为：
所以棱锥O﹣ABCD的体积为：
故答案为：8
知识点
如图，已知平面
A
B
C
D
正确答案
解析
因为
设
在三角形中有
知识点
如图，直三棱柱ABC-A
（1）证明：DE为异面直线AB
（2）设异面直线AB
正确答案
见解析。
解析
解法一
（1）连结
作
又由底面
连结DG，则
所以DE为异面直线
（2）因为
设AB=2，则
作
又作
解法二：
（1）以B为坐标原点，射线BA为
设AB=2，则A（2,0,0,），
又设
于是
故
所以DE为异面直线
（2）因为
故 
即 
解得 
又
所以
设平面
即
设平面
即
令
所以 
由于
所以二面角
知识点
如图所示，在棱长为2的正方体
（1）求证：
（2）求证：
（3）求三棱锥
正确答案
见解析。
解析
（1）
连结
∵EF为中位线
而
（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点
综合①②，且
（3）由（2）可知
∴
∴
知识点
斜率为
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A﹣CFD的体积。
正确答案
见解析。
解析
（1）证明：依题意：AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD∴CE⊥AD
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE。
（2）证明：Rt△BCE中，
∴BE=2
Rt△ABD中，
∴BD=3.
∴
∴AD∥EF∵AD在平面CEF外
∴AD∥平面CEF。
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1
∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1。
∴
∵CE⊥平面ABD
∴
知识点
如图4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
的中点。
（1）求证：PN//平面ABC；
（2）求证：A1M ⊥AB1C1；
（3）求点M到平面AA1B1的距离。
正确答案
见解析。
解析
（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，--1分
∵N为AB1的中点，∴PN//AC,
∵
∴PN//平面ABC.
（2）证法一：连结AC1，在直角ΔABC中，
∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴ AC＝A1C1＝
∵
∴
∴
∴AC1⊥A1M.
∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且
∴B1C1⊥平面AA1CC1，
∴B1C1⊥A1M，又
【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴ AC＝A1C1＝
设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β
∵
∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M.
∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且
∴B1C1⊥平面AA1CC1，
∴B1C1⊥A1M，又
故A1M⊥面A B1C1，
（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，
由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1
∵
∴
∴
即点M到平面AA1B1的距离为
知识点
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