直线、平面垂直的综合应用
共65题

· 直线、平面垂直的综合应用

直线、平面垂直的综合应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________。

正确答案

16π－16

解析

由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

在中，，则AB边的长度为__________.

正确答案

解析

略。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB

（1）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；

（2）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

正确答案

见解析。

解析

解法一

（1）连结,记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故.

作,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面面，得.

连结DG，则，故,由三垂线定理，得.

所以DE为异面直线与CD的公垂线。

（2）因为，故为异面直线与的夹角，.

设AB=2，则，，,.

作,H为垂足，因为底面,故，

又作，K为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此为

解法二：

（1）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2，则A（2,0,0,），，D（0,1,0），，

又设C（1,0,c）,则.

于是.

故,

所以DE为异面直线与CD的公垂线。

（2）因为等于异面直线与CD的夹角，

故，

即，

解得，故，

又，

所以，

设平面的法向量为，则，

即且.令，则，故.

设平面的法向量为，则，

即.

令，则，故.

所以 .

由于等于二面角的平面角，

所以二面角的大小为.

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点。

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）

连结，在中，、分别为，的中点，则

∵EF为中位线

而面，面

面

（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点

①

正方体

，

②

综合①②，且

，而，

（3）由（2）可知

即CF为高，

，

∴ 即

∴

知识点

直线、平面垂直的综合应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1

的中点。

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：A1M ⊥AB1C1；

（3）求点M到平面AA1B1的距离。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点，∴CB1过点P，--1分

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,

∵面，面,

∴PN//平面ABC.

（2）证法一：连结AC1，在直角ΔABC中，

∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝

∵=，

∴

∴，

∴AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又，故A1M⊥平面A B1C1，

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵

∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，

（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，

由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1

∵

∴

∴.

即点M到平面AA1B1的距离为。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

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