- 直线、平面垂直的综合应用
- 共65题
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是__________。
正确答案
16π-16
解析
由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为π·22·4-2×2×4=16π-16.
知识点
在中,,则AB边的长度为__________.
正确答案
3
解析
略。
知识点
如图,直三棱柱ABC-ABC 中,AC=BC, AA=AB,D为BB的中点,E为AB上的一点,AE=3 EB
(1)证明:DE为异面直线AB与CD的公垂线;
(2)设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小
正确答案
见解析。
解析
解法一
(1)连结,记与的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故.
作,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面面,得.
连结DG,则,故,由三垂线定理,得.
所以DE为异面直线与CD的公垂线。
(2)因为,故为异面直线与的夹角,.
设AB=2,则,,,.
作,H为垂足,因为底面,故,
又作,K为垂足,连结,由三垂线定理,得,因此为
解法二:
(1)以B为坐标原点,射线BA为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2,则A(2,0,0,),,D(0,1,0),,
又设C(1,0,c),则.
于是.
故,
所以DE为异面直线与CD的公垂线。
(2)因为等于异面直线与CD的夹角,
故 ,
即 ,
解得 ,故,
又,
所以,
设平面的法向量为,则,
即且.令,则,故.
设平面的法向量为,则,
即.
令,则,故.
所以 .
由于等于二面角的平面角,
所以二面角的大小为.
知识点
如图所示,在棱长为2的正方体中,、分别为、的中点。
(1)求证://平面;
(2)求证:;
(3)求三棱锥的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)
连结,在中,、分别为,的中点,则
∵EF为中位线
而面,面
面
(2)等腰直角三角形BCD中,F为BD中点
①
正方体
,
②
综合①②,且
,而,
(3)由(2)可知
即CF为高 ,
,
∴ 即
∴
=
知识点
如图4,已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90°,
∠BAC=30°,BC=1,AA1=,点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1
的中点。
(1)求证:PN//平面ABC;
(2)求证:A1M ⊥AB1C1;
(3)求点M到平面AA1B1的距离。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:连结CB1,∵P是BC1的中点 ,∴CB1过点P,--1分
∵N为AB1的中点,∴PN//AC,
∵面,面,
∴PN//平面ABC.
(2)证法一:连结AC1,在直角ΔABC中,
∵BC=1,∠BAC=30°,
∴ AC=A1C1=
∵=,
∴
∴,
∴AC1⊥A1M.
∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且
∴B1C1⊥平面AA1CC1,
∴B1C1⊥A1M,又,故A1M⊥平面A B1C1,
【证法二:连结AC1,在直角ΔABC中,∵BC=1,∠BAC=30°,
∴ AC=A1C1=
设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β
∵
∴α+β=90° 即AC1⊥A1M.
∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且
∴B1C1⊥平面AA1CC1,
∴B1C1⊥A1M,又
故A1M⊥面A B1C1,
(3)设点M到平面AA1B1的距离为h,
由(2)知B1C1⊥平面AA1CC1
∵
∴
∴.
即点M到平面AA1B1的距离为。
知识点
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