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题型:填空题
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填空题 · 5       分

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是__________。

正确答案

16π-16

解析

由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为π·22·4-2×2×4=16π-16.

知识点

直线、平面垂直的综合应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

中,,则AB边的长度为__________.

正确答案

3

解析

略。

知识点

直线、平面垂直的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,直三棱柱ABC-ABC 中,AC=BC, AA=AB,D为BB的中点,E为AB上的一点,AE=3 EB

(1)证明:DE为异面直线AB与CD的公垂线;

(2)设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

正确答案

见解析。

解析

解法一

(1)连结,记的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故.

,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.

又由底面,得.

连结DG,则,故,由三垂线定理,得.

所以DE为异面直线与CD的公垂线。

(2)因为,故为异面直线的夹角,.

设AB=2,则,.

,H为垂足,因为底面,故

又作,K为垂足,连结,由三垂线定理,得,因此

解法二:

(1)以B为坐标原点,射线BA为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2,则A(2,0,0,),,D(0,1,0),

又设C(1,0,c),则.

于是.

,

所以DE为异面直线与CD的公垂线。

(2)因为等于异面直线与CD的夹角,

故  

即  

解得  ,故

所以

设平面的法向量为,则

.令,则,故.

设平面的法向量为,则

.

,则,故.

所以 .

由于等于二面角的平面角,

所以二面角的大小.

知识点

直线、平面垂直的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图所示,在棱长为2的正方体中,分别为的中点。

(1)求证://平面

(2)求证:

(3)求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

(1)

连结,在中,分别为的中点,则

∵EF为中位线

(2)等腰直角三角形BCD中,F为BD中点

正方体

综合①②,且

,而

(3)由(2)可知

 即CF为高  ,

  即

=

知识点

直线、平面垂直的综合应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图4,已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90°,

∠BAC=30°,BC=1,AA1=,点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1

的中点。

(1)求证:PN//平面ABC;

(2)求证:A1M ⊥AB1C1;

(3)求点M到平面AA1B1的距离。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:连结CB1,∵P是BC1的中点 ,∴CB1过点P,--1分

∵N为AB1的中点,∴PN//AC,

,

∴PN//平面ABC.

(2)证法一:连结AC1,在直角ΔABC中,

∵BC=1,∠BAC=30°,

∴  AC=A1C1=

=

∴AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且

∴B1C1⊥平面AA1CC1,

∴B1C1⊥A1M,又,故A1M⊥平面A B1C1,

【证法二:连结AC1,在直角ΔABC中,∵BC=1,∠BAC=30°,

∴  AC=A1C1=

设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β

∴α+β=90°  即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且

∴B1C1⊥平面AA1CC1,

∴B1C1⊥A1M,又

故A1M⊥面A B1C1,

(3)设点M到平面AA1B1的距离为h,

由(2)知B1C1⊥平面AA1CC1

.

即点M到平面AA1B1的距离为

知识点

直线、平面垂直的综合应用
下一知识点 : 线面角和二面角的求法
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