- 直线、平面垂直的综合应用
- 共65题
如图,已知平面ABC,
AB=AC=3,
,,
点E,F分别是BC,
的中点.
19.求证:EF∥平面 ;
20.求证:平面平面
.
21.求直线 与平面
所成角的大小.
正确答案
要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF
平面
证明:如图,连接,在△
中,因为E和F分别是BC,
的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF
平面
, 所以EF∥平面
.
解析
见答案.
考查方向
易错点
线面关系与面面关系的转化
正确答案
要证明平面平面
,可证明
,
.
因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为
平面ABC,BB1||AA1所以
平面ABC,从而
,又
,所以
平面
,又因为
平面
,所以平面
平面
.
解析
见答案.
考查方向
易错点
线面垂直于面面垂直的转化.
正确答案
.
解析
取 中点N,连接
,则
就是直线
与平面
所成角,Rt△
中,由
得直线
与平面
所成角为
.
取中点M和
中点N,连接
,NE因为N和E分别为
,BC中点,所以NE||BB1 ,
,故NE||AA1 ,
,所以A1N||AE ,
,又因为
平面
,所以
平面
,从而
就是直线
与平面
所成角,在△
中,可得AE=2,所以
=2,因为BM||AA1,BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由
,有
,在Rt△
中,可得
,在Rt△
中,
因此
,所以,直线
与平面
所成角为
.
考查方向
易错点
线面角定义的灵活运用
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=½AD。
(I) 在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(II)证明:平面PAB⊥平面PBD。
正确答案
(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB 平面PAB,CM
平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
知识点
11.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,
,
,
,则m,n所成角的正弦值为()
正确答案
知识点
16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,
.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
正确答案
(1)为中点,
为
的中位线
又为棱柱,
,又
平面
,且
平面
;
⑵ 为直棱柱,
平面
,又
且,
平面
平面
,
又,
平面
又平面
,
又,
,且
平面
平面
,又
平面
平面
.
知识点
如图1,在直角梯形中,
,
是
的中点,
是
与
的交点,将
沿
折起到图2中
的位置,得到四棱锥
.
19.证明:平面
;
20.当平面平面
时,四棱锥
的体积为
,求
的值.
正确答案
(Ⅰ) 略.
解析
试题分析: (Ⅰ) 在图1中,因为,
是
的中点,
,所以四边形
是正方形,故
,又在图2中,
,从而
平面
,又
且
,所以
,即可证得
平面
;
(Ⅰ)在图1中,因为,
是
的中点
,所以
,
即在图2中,
从而平面
又
所以平面
.
考查方向
解题思路
在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时,常常借助于相关的判定定理来解题,同时注意恰当的将问题进行转化
易错点
线线关系与线面关系的转换
正确答案
(Ⅱ) .
解析
试题分析:(Ⅱ)由已知,平面平面
,且平面
平面
,又由(Ⅰ)知,
,所以
平面
,即
是四棱锥
的高,易求得平行四边形
面积
,从而四棱锥
的为
,由
,得
.
(Ⅱ)由已知,平面平面
,
且平面平面
又由(Ⅰ)知,,所以
平面
,
即是四棱锥
的高,
由图1可知,,平行四边形
面积
,
从而四棱锥的为
,
由,得
.
考查方向
解题思路
2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等,本题是求四棱锥的体积,可以接使用公式法.
易错点
体积的计算
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