- 圆的标准方程
- 共116题
20.已知的边
所在直线的方程为
,
满足
,点
在
所在直线上且
.
(Ⅰ)求外接圆的方程;
(Ⅱ)一动圆过点,且与
的外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅲ)过点斜率为
的直线与曲线
交于相异的
两点,满足
,求
的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ),从而直线AC的斜率为
.
所以AC边所在直线的方程为.即
.
由得点
的坐标为
,
又.
所以外接圆的方程为:
.
(Ⅱ)设动圆圆心为,因为动圆过点
,且与
外接圆
外切,
所以,即
.
故点的轨迹是以
为焦点,实轴长为
,半焦距
的双曲线的左支.
从而动圆圆心的轨迹方程为
.
(Ⅲ)直线方程为:
,设
由得
解得:
故的取值范围为
解析
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知识点
18.已知圆
,圆
,由两圆外一点
引两圆切线
、
,切点分别为
、
,如图,满足
.
(Ⅰ)求实数、
满足的等量关系。
(Ⅱ)求切线长的最小值。
(Ⅲ)是否存在以为圆心的圆,使它与圆
相内切并且与圆
相外切?若存在,求出圆
的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
(Ⅰ)连接、
.
,
,
, 从而
,
化简得实数、
满足的等量关系为
.
(Ⅱ)由,得
,
=
.
当
时,
.
(Ⅲ)圆
和圆
的半径为1,若存在半径为
的圆
,与圆
相内切并且与圆
相外切,则有
且
.于是有
,即
,从而得
,两边平方,整理得
,将
代入上式得
,故满足条件的实数
、
不存在.
不存在符合题设条件的圆
.
解析
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知识点
20.已知点是⊙
:
上的任意一点,过
作
垂直
轴于
,动点
满足
。
(1)求动点的轨迹方程;
(2)已知点,在动点
的轨迹上是否存在两个不重合的两点
、
,使
(O是坐标原点),若存在,求出直线
的方程,若不存在,请说明理由。
正确答案
解:(1)设,依题意,
则点的坐标为
∴
又 ∴
∵ 在⊙
上,故
∴
∴ 点的轨迹方程为
(2)假设椭圆上存在两个不重合的两点
满足
,则
是线段MN的中点,
且有
又 在椭圆
上
∴ 两式相减,
得
∴
∴ 直线MN的方程为
∴ 椭圆上存在点.
满足
,此时直线
的方程为
解析
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知识点
7.中,若
,则
的外接圆半径为_____________
正确答案
解析
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知识点
14.过点作圆
的弦,其中弦长为整数的共有
条。
正确答案
32
解析
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知识点
21.如图,在中,
,
,且
,在边
上取点
,以
为圆心,
为半径的圆恰好经过点
.
()求⊙
的半径;
()请判断直线
和⊙
的位置关系,并说明理由.
正确答案
()过点
作
于
,
依题可知,由垂径定理可得,,
,
.
在中,由勾股定理可得,
.
即⊙的半径为
.
()直线
和⊙
相切,
连接,过点
作
交
的延长线于
,
∵,∴
,
∴,
,
∴,
,
,
∴,
,
∴,
∴,
∴,
,
∵是⊙
的半径,
∴直线和⊙
相切.
解析
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知识点
4.已知圆的圆心为抛物线
的焦点,且与直线
相切,则该圆的方程为( )
正确答案
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知识点
16.设是双曲线
的右焦点,直线
交双曲左右两支于
,若
,则双曲线的离心率等于_____。
正确答案
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知识点
9.点A、B、C、D均在同一球面上,其中是正三角形,
面
,
,则该球的体积为( )
正确答案
解析
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知识点
8.若 △ABC 内接于以O为圆心,1为半径的圆,且,则
的值为( )
正确答案
解析
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知识点
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