圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.如果圆锥曲线的焦距与实数λ无关,那么它的焦点坐标是　　　　.

正确答案

解析

若为双曲线,

则有(λ+5)(2-λ)>0,

即-5<λ<2,

这时a2=λ+5,b2=2-λ,

于是显然焦点在y轴上,

得此时的焦点坐标为

若为椭圆,

则有

这时a2=λ+5,b2=λ-2,

于是

显然焦点在y轴上,

得此时的焦点坐标为

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2.如果双曲线的渐近线方程为,则离心率为(　　).

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由渐近线方程为

得

那么

或

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若2<|AB|<4,则这样的直线l共有(　　).

A1条

B2条

C3条

D4条

正确答案

B

解析

当|AB|=2时,只有一条,此时是x轴;

当|AB|=4时,有三条,其中两条交在两支上,另一条垂直于x轴.

那么当2<|AB|<4时,有两条.

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为________．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（）

A

B

C3

D

正确答案

D

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 6 分

30．如图，点、，点在轴正半轴上，过线段的等分点作与垂直的射线，在上的动点使取得最大值的位置记作（）。是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点都在这条曲线上？说明理由。

正确答案

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的偏难问题，题目的难度较大，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意对参数的讨论．

存在一条双曲线，对任意的正整数，点都在这条双曲线上

如图所示，，设，，则，，

，

所以

当一定时，为常数

所以此时取得最大值

当且仅当时等号成立，

故，，在一条双曲线上。

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，表示出直线斜率依次求解。

易错点

表示直线斜率时容易出错。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为___________

正确答案

解析

将代入渐近线方程，得a=2b. c=,c2=a2+b2, a2+.

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程及双曲线与抛物线的基本知识。

解题思路

本题考查运用双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，求a,b，解题步骤如下：将代入渐近线方程，得a=2b. 由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，可知c=,c2=a2+b2, a2+.

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1．若双曲线的焦点在x轴上，则实数k的取值范围是（）

A（一∞，1）

B(2，+∞)

C(1,2)

D(一∞,1)U(2,+∞)

正确答案

A

解析

本题属于双曲线中的基本问题，题目的难度是简单。

考查方向

主要考查了双曲线的标准方程,在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

无

易错点

本题易在求解时把分母平方运算。

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

由于MN∥F1F2，，所以，又因为，所以Ｑ是的中点，所以，Ｎ，Ｑ代入双曲线的标准方程中，可以求得，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义、方程以及几何性质等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

确定N、Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率。

易错点

本题容易因为对双曲线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

如下图所示，由可设点坐标为，由知为的中点，故点坐标为，把点坐标与点坐标代入双曲线方程得：

，整理得，故，选择D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程与性质的综合应用,为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系等知识点交汇命题。

解题思路

先分别求出两个集合中代表元素的取值范围，再求交集。

易错点

对于已知条件不知如何处理导致出错。

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

9．已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为_________．

正确答案

解析

由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为（）

A

B.

C

D

正确答案

B

解析

利用交点这一突破口，建立方程关系，进而求出a和c的关系，所以得到离心率为，所以选B

考查方向

直线与圆的方程、圆锥曲线双曲线的渐近线与离心率、余弦定理

解题思路

先设交点坐标，与渐近线联立方程组，最后用余弦定理求得

易错点

计算错误、离心率、渐近线方程错误

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率为取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

过点且与斜率为正的渐近线平行的直线方程为，与之平行的渐近线方程为，那么两条平行线间的距离为

解得，又因为双曲线离心率大于1，所以选A

考查方向

本题主要考察了双曲线及其渐近线的性质，在高考中常会涉及离心率、弦长、以及参数的取值范围等，难度较大，而且考察频率很高

解题思路

因为双曲线是无限接近于它的渐近线的，所以双曲线到直线的距离恒大于，可以看做渐近线上的点到它的距离恒大于或等于

易错点

不能将曲线到直线的距离转化成直线到直线的距离，导致计算繁琐甚至出错

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.如图，已知是双曲线的下，上焦点，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，为切点，若切线段被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，

由题意得，，，

所以

因为是的中点，

所以，

所以

而，

所以，

所以，故选B。

考查方向

此题主要考查圆的切线的性质，双曲线的几何性质以及对于几何图形的识图能力，意在考查考生的综合解题能力。

解题思路

1、选根据题中条件求出然后利用中位线得到，进而

2.利用渐近线的斜率得到，从而确定，最终确定答案。

易错点

1、无法将题中条件准确转化；

2.焦点在y轴上的双曲线的渐近线的方程与焦点在x轴上的渐近线方程不同，此点容易出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 3 分

11.F为双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点，若上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则的离心率e的值为

A2

B

C

D+1

正确答案

D

解析

若设双曲线的左焦点为F’，

连接P F’，

由几何关系可知三角形P F’F是直角三角形，

PF’=c, PF=c

所以PF’-PF=c –c=2a，

所以e=，

故选D。

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义、离心率等问题。

解题思路

若设双曲线的左焦点为F’，连接P F’，由几何关系可知三角形P F’F是直角三角形，然后利用双曲线的定义即的a与c的关系，从而求得离心率。

易错点

若设双曲线的左焦点为F’，不能想到连接P F’,利用双曲线的定义解题。

知识点

双曲线的几何性质

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正确答案

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