圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．在双曲线（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点，若在线段BF上存在点P，使得△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是_____________．

正确答案

解析

由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy-bc=0，若在线段BF上存在点P，使得△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形，则即，由于e>1,解得

考查方向

本题主要考查了双曲线的几何性质，考查考生分析问题和解决问题的能力。

解题思路

根据题意写出线段BF所在直线方程，借助△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形构建原点到直线的距离小于或等于a,从而解出e的取值范围。

易错点

△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形的转化

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .

正确答案

y＝±2x

解析

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F；

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为；

代入抛物线的方程，可得A， B

由A，B，F三点共线，可得：，即有b=2a，∴双曲线的渐近线方程是y＝±2x

考查方向

本题主要考查了抛物线和双曲线的几何性质

解题思路

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，

F共线，可得，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

易错点

混淆抛物线和双曲线的几何性质，同时计算容易出现错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

抛物线，焦点为，则双曲线的，则，即双曲线方程为，设，，则，

则，

因为，故当时取得最小值，最小值为，故选A．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和向量的数量积等知识，意在考查考生构造函数解决问题的能力。

解题思路

1.先根据抛物线的焦点求出双曲线的方程；

2.设出P点到坐标后表示函数后求解其最小值即可。

易错点

1.抛物线的焦点求错导致双曲线的方程出错；

2.不会构造函数求解的最小值。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）

A

B

C2

D

正确答案

C

解析

由题意得 F（c，0 ），由切点为M为线段FP的中点可知，OM是△FOP的底边FP的中线也是高线，故FPO为等腰直角三角形，∴点P（0，c ），由中点公式得M，把M代入圆，即,

∴所以选项C为正确选项

考查方向

本题主要考查了双曲线几何性质,属于中档题，是高考的热点

解题思路

判断FPO为等腰直角三角形，由中点公式得M代入圆的方程求得离心率

易错点

本题易在无法判断FPO为等腰直角三角形，找不出等量关系

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角120°，则E的离心率为( )

A

B2

C

D

正确答案

D

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.过双曲线（）的左顶点作斜率为的直线，若直线与双曲线的两条渐近线分别相交于点，，且，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意可知P(-1,0),所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线的方程为y=-bx或y=bx,所以可得Q点横坐标为，R点的横坐标为，因为

所以，所以，所以b=3,

C=,所以，所以选B

考查方向

双曲线的标准方程；双曲线的性质及其图象的特征

解题思路

先求出R和Q的横坐标，然后求出b的值，进而求出c,然后根据离心率公式答案可得

易错点

计算能力弱，离心率公式记混淆

知识点

向量在几何中的应用双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上，即

所以双曲线方程为 ∴渐近线为选C

考查方向

本题考察了双曲线的定义及标准方程，考察了抛物线的定义及方程，考察了双曲线的几何性质，属于容易题

解题思路

1、利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上

2、根据双曲线的几何性质得出

3、根据双曲线的几何性质直接写出渐近线

易错点

本题主要易错于焦点位置的判断以及m的含义

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图所示的封闭曲线C由曲线和曲线组成，已知曲线过点，离心率为，点A,B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点.

24.求曲线的方程；

25.若点Q是曲线上的任意点，求面积的最大值及点Q的坐标；

26.若点F为曲线的右焦点，直线与曲线相切于点M，且与直线交于点N，求证：以MN为直径的圆过点F.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

根据离心率和点求出曲线，求出交点确定

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

求出直线AB，判定面积最大是恰好是与AB平行且与曲线相切时，利用平行线及切线的判定求出面积的最大值及其点的坐标

易错点

本题易错于

1、曲线方程求错，特别是曲线

2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

设出直线方程，利用与曲线联立，根据相切确定k，m的关系以及确定切点M的坐标，与直线联立求出点N的坐标

借助圆的几何性质

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

23.求的值；

24.过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）;

解析

(Ⅰ)因为抛物线与轴交于点，所以

由因为，所以椭圆方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据抛物线与x轴的交点求出b的值，后利用离心率求出a的值；

易错点

不知道抛物线与x轴的交点即为b的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

(Ⅱ)因为，若过点的直线斜率不存在时，不满足题意，所以直线斜率存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，所以，所以联立所以，所以

由

化简得，所以，所以直线的方程为即

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入解方程即可。

易错点

不会转化，导致问题找不到突破口。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

C

解析

由题意可知，双曲线的一个渐近线方程为：，代入抛物线整理可得，因为渐近线与抛物线相切，所以，所以，所以

考查方向

双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

解题思路

先求出渐近线方程，代入抛物线方程，从而推出a和c的关系。

易错点

计算能力差

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

9.双曲线的焦距是，渐近线方程是．

正确答案

,；

解析

试题分析：由双曲线，可求出c=，得到焦距和渐近线方程。

∵双曲线中，，∴c=，∴焦距，渐近线方程为.

考查方向

本题考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。

解题思路

根据双曲线的方程求出2c和渐近线方程。

易错点

注意双曲线中焦距为2c，双曲线的渐近线方程。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）

A

B

C6

D

正确答案

D

解析

双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为，将x=2代入得，所以，故选D选项。

考查方向

本题主要考察圆锥曲线的性质等知识，意在考察考生对于基础知识的掌握程度。

解题思路

先根据双曲线方程求出基本量后，将带人渐近线方程，得，后得即可得到答案。

易错点

将双曲线中的基本量与椭圆中的混淆导致出错；将带人渐近线方程，求值出错；

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．等腰直角三角形ABC中，A＝90°，A，B在双曲线E的同一支上，且线段AB通过双曲线的一个焦点，C为双曲线E的另一个焦点，则该双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，由等腰三角形和双曲线的定义，得，，，则，则，在中，，则，即，即，则该双曲线的离心率为；所以选B选项.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与解三角形、数列等知识交汇命题.

解题思路

1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度；

2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.

易错点

本题易在选择双曲线的定义出现错误，易忽视双曲线的定义的灵活运用.

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．经过点（2，1），且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程，考察了双曲线的几何意义，考察了直线和圆的位置关系，难度系数不高，

解题思路

1）设渐近线方程（无法确定焦点位置）利用直线和圆的位置关系求渐近线

2）利用渐近线写出含参双曲线方程，带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

解析

设双曲线的离心率为e，在三角化简并整理得，

考查方向

考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率

解题思路

先由题意及双曲线的定义，可得，再利用焦半径公式，，由余弦定可求得a,b,c的等式关系，再从中求离心率

易错点

利用焦半径公式易出错，寻找a,b,c关系时找不到突破口

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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