圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图（7），已知抛物线C：＝2py （p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．

23.当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5），求p的值；

24.以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，记劣弧的长度为S，当直线l绕点F旋转时，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：（1）当的倾斜角为时，的方程为

设得

得中点为

中垂线为代入得

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的最大值为

解析

解：

（2）设的方程为，代入得

中点为

令

到轴的距离

当时取最小值

的最大值为

故的最大值为.

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .

正确答案

y＝±2x

解析

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F；

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为；

代入抛物线的方程，可得A， B

由A，B，F三点共线，可得：，即有b=2a，∴双曲线的渐近线方程是y＝±2x

考查方向

本题主要考查了抛物线和双曲线的几何性质

解题思路

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，

F共线，可得，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

易错点

混淆抛物线和双曲线的几何性质，同时计算容易出现错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

1.不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；

找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若抛物线C:上只有两点到直线l:的距离为1，则实数k的取值范围是．

正确答案

或或

解析

直线过定点，该直线存在斜率，抛物线的顶点为，抛物线的顶点到直线的距离一定小于1，所以抛物线上一定存在点到直线的距离，设与直线平行，令与抛物线相切，联立，得，所以，当时，，满足题意；当时，，直线，令直线与的距离为1，即，解得，所以满足条件的，即实数k的取值范围是或或.

考查方向

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系.

解题思路

1）根据直线过定点和抛物线的方程判定位置关系；

2）设出与直线平行且与抛物线相切的直线；

3）利用点到直线的距离进行求解.

易错点

本题易在讨论时出现错误，易忽视“时的特殊情形”.

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

23.求的方程；

24.若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）抛物线的方程为；

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）直线的方程为，即

圆的方程为

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13. 抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　.

正确答案

解析

,所以准线方程为，

考查方向

本题考查的是抛物线的性质准线方程的求法。

解题思路

先化为标准方程，结合图形直接求准线方程。

易错点

没有变为标准方程，直接得出x=2、

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

考查抛物线的性质，抛物线的焦半径公式

解题思路

根据题意, 直接用焦半径表示AF与BF的长度.

易错点

忽略直线过焦点，导致AF与BF的长度无法用3表示, 忽略焦点的位置，容易把焦半径公式写成

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.

24.求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

25.设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

26.当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）焦点坐标为，准线方程为；

解析

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，,

焦点坐标为，准线方程为．

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

根据抛物线的几何性质直接得到即可；

易错点

无

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，则．　　⑥----------------6分

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．-

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1

先根据条件求出A,B的横坐标后带入求出M的横坐标即可得到答案；

易错点

不会求解点A,B的坐标，运算量大；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．

又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先求出抛物线的方程，然后根据第（2）问求出点A,B的坐标，然后将∠PAB为钝角转化为向量求解即可。

易错点

不会转化题中给出的条件∠PAB为钝角，导致做不出正确答案。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F处，灯口直径AB为0，灯深（顶点O到反射镜距离）0，则光源F到反射镜顶点O的距离为

正确答案

或或

解析

.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，

则点A（40，30）在抛物线上，（）

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质等知识，意在考查考查对于抛物线的应用能力和运算求解能力。

解题思路

1.建立平面直角坐标系设出抛物线的方程；

2.根据题意点A（40，30）在抛物线上求出p;

易错点

不会将题中给出的应用问题建立坐标系求解；

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．

23.求抛物线的方程；

24.已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与轴交于一定点．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，

由，得,设，则，

∴，由，可得．

∴抛物线的方程为．

考查方向

抛物线的性质及应用，抛物线的方程

解题思路

设出参数，建立等量关系列出方程，求解方程求出参数

易错点

计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（2）依题意，直线与轴不垂直，∴．

∴直线的方程可表示为，①

∵抛物线的准线方程为，②

由①，②联立方程组可求得的坐标为，

由（1）可得，

∴的坐标可化为，

∴，

∴直线的方程为，

令，可得，

∴直线与轴交于定点．

考查方向

直线和抛物线的交汇问题，直线和圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中有关定点、定长的问题。

解题思路

先求出抛物线的准线方程，联立方程可得P点的坐标，用含参数的式子表示出直线的斜率，判断其是否能过定点

易错点

计算能力弱，圆锥曲线相关性质掌握不牢固

教师点评

圆锥曲线这类题对考生的计算能力要求很高

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．

23.求抛物线C的标准方程；

24.记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由题意，，，

抛物线C的标准方程为．

考查方向

求抛物线的标准方程

解题思路

根据已知条件建立方程，进而求出参数值，求出抛物线的方程

易错点

计算能力弱，相关公式记忆不准确

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设，设直线MN的方程为，联立得，，，，由对称性，不妨设，

（ⅰ）时，，同号，

又，，

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”；

（ⅱ）时，，异号，又，

，

仅当，即时，t与m无关，

考查方向

直线和圆锥曲线的交汇问题，新概念定义的和圆锥曲线结合题

解题思路

根据稳定点的定义，结合已知条件和抛物线的性质。联立方程组，求解参数，得到答案

易错点

计算能力弱，分类讨论思想运用不好

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知抛物线的焦点为，直线与交于在轴上方）两点．若，则的值为

A

B

C2

D3

正确答案

D

解析

由一元二次不等式的解集可知方程有两个相等的实数根

所以,解得

当且仅当时取最大值为-4，所以选D

考查方向

一元二次不等式的解法

解题思路

根据一元二次不等式的解集和基本不等式求出M+N的最大值

易错点

不会解不等式，不能想到用基本不等式

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线的斜率为.

23.求抛物线的标准方程；

24.与圆相切的直线（其中），与抛物线交于两点，若在抛物线上存在点，使，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

设，

则点处抛物线的切线为，过点，因而；

同理，点处抛物线的切线为，过点，因而.

两式结合，说明直线过两点，也就是直线的方程为.

由已知直线的斜率为，知.

故所求抛物线的方程为.

解析

详见解题过程.

考查方向

本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的关系.

解题思路

先设出点A,B的坐标,进而写出抛物线的切线方程,进而可以写出直线AB的方程,对照已知条件中直线的斜率即可求出p,进而可以写出抛物线的方程;

易错点

若不能根据直线AB的特征写出AB的方程,则可能导致思路受阻.

教师点评

本题把直线与抛物线相切融入到抛物线方程的求解中,命题形式灵活,具有较好的代表性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线的方程为，又直线与圆相切，

所以，即.

与抛物线方程联立，即，

化简消得，

，∴或，∵，∴恒成立.

设，则，

.

由，则，

又点在抛物线上，则，所以的取值范围为

解析

注意向量运算与坐标之间的互相转化.

考查方向

本题考查直线与圆的位置关系,直线与抛物线的关系.

解题思路

先根据直线与圆的相切求出m与k的关系,再把直线与抛物线联立,利用向量的运算及判别式即可求出结论.

易错点

忽略判别式容易导致错误

教师点评

本题具有一定的综合性,对计算能力有较高要求.

1

题型：简答题

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单选题

定期存款较股票型基金产品有一定特点，下列说法正确的是( )。

A．流动性高；收益率高
B．流动性高；收益率低
C．流动性低；收益率低
D．流动性低；收益率高

正确答案

C

解析

[解析] 一般说来，定期存款低于股票型基金产品的收益率，流动性也低于股票型基金产品。

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

2. 已知抛物线的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若经过点，则

其焦点到准线的距离为

正确答案

解析

因为抛物线焦点在轴上且过，所以设方程为代入M点即可求得，所以焦点到准线的距离为。

考查方向

抛物线的标准方程。

解题思路

先找准抛物线的开口，设出方程即可。

易错点

抛物线的标准方程的正确应用。

知识点

抛物线的定义及应用

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