热门试卷

（1）由题意，，又，……………………………………………2分

解得,椭圆的标准方程为.……………………………………………………………4分

（2）设直线AB的方程为，设

联立，得

  ----------①

                             ……………………………………………………………6分

     ……………………………………………………………7分

=       …………………………………………………8分

                               …………………………………………………………9分

(i)

当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.

又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2. …………………………………11分

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则

.

即,四边形ABCD的面积为定值…………………………………………………………13分

（1）由题意知：半长轴为2，则有

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以

故，即，故

②设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为

又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.

于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标

于是

因此，

又由点的坐标可知，，平方后代入上式，

所以

故的取值范围为

（1）由已知可得 ，所求椭圆方程为， （4分）

（2）解法一：可求得、、的坐标分别为

设在椭圆上存在两点、，使，

则：  （6分）

解       （8分）

得：，所以在椭圆上存在两点，

使.                                          （10分）

解法二：可求得、、的坐标分别为

设在椭圆上存在两点，使，则四边形是平行四边形，且点关于点对称；                                     （6分）

由椭圆的对称性可知，轴，且过点；解（8分）

得：，所以在椭圆上存在两点，

使.                                           （10分）

（3）当轴时，显然.

当与轴不垂直时，可设直线的方程为.

由 消去整理得 .

设，线段的中点为，则 .

所以 ，.（12分）

线段的垂直平分线方程为.

在上述方程中令，得.

当时，,所以；             （14分）

当时，，.                    （16分）

综上，的取值范围是.                    （17分）

(1)由题意知，所以，即。

又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，与直线相切，所以，

所以，，故椭圆C的方程为。

(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0，则直线PB的方程为。

由得。  ①

设点，，则，由题意知直线AE的斜率存在，则直线AE的方程为。

令，得，将，4)代入整理得

。   ②

由①式利用根与系数的关系得，，

代入②式整理得。

所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0)。

(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为，，。

由得，

易知，

由根与系数的关系知，，

则，

则，

因为，所以，所以，

所以。

当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，不妨设，，此时。

综上所述，的取值范围是。

（1）因为为椭圆的右焦点，所以……①   ……………………1分

的直线方程为，即

所以，化简得……②  …………………………3分

由①②得：，

所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4分

（2） 设、

当直线的斜率不存在时，，则，解得

所以，则………………………………………………6分

当直线的斜率存在时，设，联立

化简得

…………………………………………………………8分

同理

不妨设，则

所以为定值 ………………………………………………………………13分

（1）由题可得，，

设

则，，

∴，        （1分）

∵点在曲线上，则，          （2分）

解得点的坐标为，　　　　　（4分）

（2）当直线经过点时，则的斜率为，

因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，

由得，

即，故，          （2分）

同理得，           （4分）

∴直线的方程为           （6分）

（3）依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：。

由 得，       （2分）

设，则，，

同理，则，

同理，　　（4分）

所以：的斜率为定值。     （6分）

设，   ……………………………………………………1分

则

由得     ①………………………………………………2分

（1）由，得

  ② ……………………………………………………1分

    ③  ……………………………………………………1分

由①、②、③三式，消去，并求得。 ……………………………………3分

（2）易求椭圆的标准方程为：。    …………………………………2分

解法一：，4分

所以，当且仅当或时，取最小值。 …2分

解法二：， ……………………………4分

所以，当且仅当或时，取最小值。…2分

（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有,解得……………………2分

所以有……①

由题意知: ,即……②

联立①②解得:

所求椭圆的方程为…………………………………………………………5分

（2）由（1）知:, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,

所以线段的中点坐标为……………………………………………8分

(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得:………………………………………………10分

(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为

因为点是线段垂直平分线上的一点

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或.………………………………13分

（1）由题意知：，，又，

解得：椭圆的方程为：     …………………………2分

可得：，,设，则，，

，，即

由，或

即，或  …………………………………………………………4分

①当的坐标为时，，外接圆是以为圆心，为半径的圆，即……………………………………………………………5分

②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，其外接圆是以线段为直径的圆，圆心坐标为，半径为，

外接圆的方程为

综上可知：外接圆方程是，或 ……7分

（2）由题意可知直线的斜率存在。

设，，，

由得：

由得：（）       ………………………9分

，即

，结合（）得：   ………………………………………………11分

，

从而，

点在椭圆上，，整理得：

即，，或………………………………13分

（1）由题意设椭圆的方程为，因为是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于两点，的面积为，的周长为

所以

所以，所求的椭圆方程为                   ……………………4分

（2）设，则由（1）得所以，

从而 ，因为,

所以有,

由于是的重心，即应当是一个三角形的三个顶点，

因此所求动点的轨迹方程为.          ………………7分

（3）由（2）知动点的轨迹方程为，即。

显然此轨迹是以点）为圆心，半径的圆除去两点剩余部分的部分曲线。

设，则根据平面几何知识得.

,                                                     …………………………10分

从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

当且仅当时，取“”   （※） …………………………12分

由点在椭圆上（非短轴端点），并且在圆外，可知

由于，所以条件（※）的要求满足。

因此的最小值为                 …………………………13分

解析:（1）由题意，得，所以……………………1分

且点在轴的上方，得………………………………2分

， ……………………………………3分

直线：，即直线的方程为…………………………4分

（2）设、，直线：…………5分

将直线与椭圆方程联立，…6分消去得，……7分

恒成立，……………8分[来源:学科网]

……………9分

所以

化简得，由于，解得……10分

（3）假设存在这样的点，使得直线和的斜率之和为0,由题意得，直线： （） 消去得……12分

恒成立， ……13分    ，，……14分

所以，……15分

解得，所以存在一点，使得直线和的斜率之和为0.……16分

（1）由题意得，，设，，

则，.

由，得即，①…………………2分

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得                                 ……………………4分

（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则   ③

    ④                                     …………………5分

将④代入③，解得或（舍去）

所以                                      ……………………6分

故椭圆的标准方程为                       ……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：.…………………8分

设，则由根与系数的关系，

可得：      ⑤

        ⑥              …………………9分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以       ……………………………………………………………11分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，所以  所以，即，

所以.

而，所以.

所以.   ………………………………………………13分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以       …………8分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，          ……………………9分

          ⑤

    ⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得   ………………………………………10分

因为，

所以，

又，

故

…………………11分

令，因为  所以，即，

所以.

所以                         ……………………12分

综上所述：.                   ……………………13分

解析：（1）在椭圆中，由已知得······ 1分

过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：    3分

解得：；所以椭圆方程为·········· 4分

（2），直线的方程为，，当椭圆上的点到直线距离最大时，△面积取得最大值·························· 6分

设与直线平行的直线方程为，将其代入椭圆方程得：，，即，解得，当时，椭圆上的点到直线距离最大为，此时△面积为··············· 9分

（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得······························································································ 11分

设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即，············································· 13分

而=，所以

，解得······························································································ 14分

如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点。

，即，所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点。················ 16分

解析：（1）设椭圆的方程为

将代入椭圆的方程，得 ………理2分，文3分

解得，所以椭圆的方程为   …………理2分，文3分

设点的坐标为，则。

又是上的动点，所以，得，代入上式得

，

故时，。的最大值为。 ………………理2分

（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为，由 得   ………………文理2分

设、，则。

又

故，………文理2分

又，

所以上式分子  …………文理2分

故，………………………………………………………………文2分

所以直线与直线的倾斜角互补。