圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点．

（1）若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;

（2）若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，-1），两圆圆心都在直线上，则t+c的值是（）

A-3

B-2

C0

D1

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与椭圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知直线x=t与椭圆 + =1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使 · 取得最小值时t的值为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知椭圆的左焦点F(-4,0).

根据对称性可设P(t,y0),Q(t,-y0),

则

所以

又因为

所以

故当时, ·

取得最小值.

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知椭圆,点E(-1,0),过点E的两条直线分别交椭圆于A,C和B,D,且·=0,则的值为（）

A

B1

C

D2

正确答案

A

解析

由题意可知AC⊥BD,

当AC的斜率为零时,

BD斜率不存在,

可求得|AC|=4,|BD|=3,

所以.

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8.已知P为椭圆上的点,Q为直线x+y-5=0上的点,则P,Q两点间的最小距离为__________.

正确答案

解析

P,Q两点间的最小距离可转化为点P到直线的距离,

根据题意可设P(3cos α,sin α),

则点P到直线的距离,

当sin(α+φ)=1时,

d取最小值.

知识点

两点间距离公式的应用椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,动直线l:y=x+m与椭圆C相切,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.则四边形F1MNF2的面积为 _______.

正确答案

解析

将直线l的方程y=x+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得7x2+8mx+4m2-12=0.

由直线与椭圆C仅有一个公共点知,Δ=64m2-28(4m2-12)=0,化简得m2=7.

设d1==,d2==,又=,

所以S=(d1+d2)=||==.

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P。设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2等于（）

A-2

B2

C-

D

正确答案

C

解析

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则,两式作差得,∴k1==-=-,又k2=,∴k1k2=-,故选C.

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

正确答案

（1）2；

（2）证明略；

（3）证明略，面积为．

解析

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以，

故四边形为平行四边形．

易知，点在对角线上．

联立解得，

由得

，

所以，

于是，

因为，

所以四边形为正方形．

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为．

当直线的斜率不存在时，

设直线、的方程为，

因为在椭圆上，

所以，

由四边形为正方形，易知，，

直线、的方程为，

正方形的面积．

当直线的斜率存在时，

设直线、的方程分别为，

显然．

设，

联立得，

所以

代人，得

，

同理可得

，

因为为正方形，

所以

解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心

（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，

故

但，

由得

即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力，是难题．解析几何的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，涉及各类曲线的定义与方程、各类曲线的性质，与曲线的轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇命题．

解题思路

题（1），先找到两直线分单位圆成长度相等的四段弧的位置，求得所截得的弦长，然后利用原点到直线距离公式求得的值，从而求得的值；

题（2），先证四边形为平行四边形，再证对角线垂直且相等，从而证得四边形为正方形；

题（3），分类讨论说明椭圆的内接正方形有且只有一个．

易错点

找不到直线与圆或者椭圆的正确的位置关系，从而无法解题．

知识点

直线与圆相交的性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.

（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

（2）设与的斜率之积为，求面积的值.

正确答案

（1）详见解析

（2）

解析

由，，

整理得.

知识点

点到直线的距离公式直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

(I)由已知得，又由，可得，，

得椭圆方程为，因为点在第一象限且轴，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为

(II)设将代入椭圆，可得

由，可得，则有

所以因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令 , 由①知

所以时，面积最大为.

考查方向

椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题

解题思路

本题考查了椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题，其中面积是本题解得的难点，解答时应结合图形的特征把的面积分解为两个同底的三角形，两个三角形的底边都是，高的和为，这是本题韦达定理应用的技巧所在，最好通过对面积的函数关系变形，在形式上达到积为定值的目的，通过基本不等式求出面积的最大值.

易错点

本题中主要是在求点坐标时易错，在联立方程用韦达定理时运算量大易错。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为

A

B2－

C－2

D－

正确答案

D

解析

设F1A=x, F2A=y,由题可知，x+y=2a,x2+y2=4c2,2x+√2x=4a，联立方程组，代换得

a2（9-6√2）=c2,即e=－。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查直线与椭圆的位置关系

解题思路

1、用a,c表示出F1A,F2A；

2、将所求式子联立，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

本题易在表示a, c关系时发生错误。

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知椭圆上有且仅有一个点到直线的距离为1，则实数a的取值情况为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为与直线平行且距离为1的直线为3x -4y-20=0，得到圆点（0，0）到直线3x-4y-20=0的距离为4，所以-a=4,a=-4,所以选B

考查方向

本题主要考查点到直线的距离，这类试题常和圆锥曲线相关知识一起考查。

解题思路

数形结合，先画出椭圆的大致形状和直线的位置，有且仅有一点的距离为1，找到一条直线与这个椭圆相切的直线。带入方程即可。

易错点

椭圆方程的各种形式的转化，点到直线的距离公式理解不透彻

知识点

两条平行直线间的距离直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．

正确答案

解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，

因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，

设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，

根据对称性，设x1=，则y1=，

同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．

方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，

所以x1x2=﹣2y1y2，

∴=4=﹣2x1x2y1y2，

∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，

∴（）（）=+4+2（+）=1，

即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，

所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，

所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 14 分

（本小题满分14分）

已知点和椭圆．

（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．

A

正确答案

A

考查方向

本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程与圆锥曲线综合应用等基础知识和方法，考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想应用，意在考查运算能力和分析问题和解决问题的能力，较难．

易错点

1、未注意到点在椭圆上而在运算中出错。

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围；

（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

正确答案

（1）设则,

于是=

因，

所以，当时，.即

（2）由题意知，可设直线的方程为.

由消去，得.

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以,，即

①将中点代入直线方程解得

②由①②得或（3）令，即，

则

且到直线的距离为设的面积为，

所以

当且仅当时，等号成立.

故面积的最大值为.

解析

本题属于解析几何的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利用两点间的距离公式和点在曲线上的定义求出线段的范围；

（2）、利用设而不求法和中点坐标公式，求出m，b之间的关系，从而求出m的取值范围；

（3）、利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，求出面积的表达式

考查方向

本题考查了椭圆与直线的位置关系、函数的取值范围问题的综合应用

易错点

1、,的讨论，求出2、利用因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以很容易忘记

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

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