圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

下列结论中正确的是。

① 函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=- f（x），则函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称；

②

③

④ 线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱。

正确答案

①②③

解析

略。

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

A

B1

C

D2

正确答案

A

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

正确答案

见解析

解析

证明：2a3－b3－（2ab2－a2b）＝2a（a2－b2）＋b（a2－b2）＝（a2－b2）（2a＋b）＝（a－b）（a＋b）（2a＋b）。

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

从而（a－b）（a＋b）（2a＋b）≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2]内的值为。

正确答案

解析

略。

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为，

（1）求椭圆方程；

（2）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.

正确答案

（1）椭圆方程为

（2）直线的方程为，或

解析

（1）依题意有，，可得，。

故椭圆方程为， ………………………………………………５分

（2）直线的方程为。

联立方程组消去并整理得。

设，，故，。

则。

设的中点为，可得，。

直线的斜率为，又，

所以。

当△为正三角形时，，

可得，解得，

即直线的方程为，或，………………………………13分

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数,.

（1）求的值；（2）若,,求。

正确答案

（1） 1; （2）

解析

（1）；

（2）

因为,,所以,

所以,

所以.

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知实数m>0，定点A（-m，0），B(m，0)，s为一动点，直线SA与直线SB的斜率之积

为

（1）求动点s的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

（2）当时，问t取何值时，直线l：2x-y+t=O (t∈R)与曲线C有且只有一个交点？

正确答案

见解析。

解析

（1）设S(x，y)，则

由题意得即

当O<m<1时，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆（除去椭圆与x轴的两个交点）；

当m>l时，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在，轴上的椭圆（除去椭圆与x轴的两个交点）：

当m=l时，轨迹C是以原点为圆心，半径为l的圆（除去圆与x轴的两个交点）。

（2）当时，曲线C的方程为

由消去y得

①令得t＝±3。

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点，

②令△>0且直线2x-y+1=O恰好过点(，0)时，

此时直线与曲线C有且只有一个公共点，

综上所述，当t=±3或时，直线l与曲线C有且只有一个公共点，

知识点

直线与双曲线的位置关系直接法求轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知直线：与双曲线：有交点，则实数的取值范围是

A（-，-)∪(，+）

B（-,]

C[-,]∪[,]

D[-，]

正确答案

D

解析

略

知识点

直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知集合,,那么如图所示的阴影部分表示的集合是( )

AR

B{-1,0,1,2}

C

D{-1,0,2}

正确答案

D

解析

因为,所以，又因为图示的阴影部分是求，所以可得所求的集合为{-1,0,2}.故选D.

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由点在椭圆上得， ① ②

由 ①②得，故椭圆的方程为……………………..4分

（2）假设存在常数，使得.

由题意可设 ③

代入椭圆方程并整理得

设，则有 ④ ……………6分

在方程③中，令得，，从而

.又因为共线，则有，

即有

所以

= ⑤

将④代入⑤得，又，

所以

故存在常数符合题意…………………………12分

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12．设分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，则（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为____________。

正确答案

或

解析

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知识点

直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知,，点满足，记点的轨迹为，过点作直线与轨迹交于两点，过作直线的垂线、，垂足分别为，记。

（1）求轨迹的方程；

（2）设点，求证：当取最小值时，的面积为．

正确答案

解：

（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．

由c＝2,2a＝2，∴b2＝3．故轨迹S的方程为x2－＝1 (x≥1)

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)

与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0．

∴ 解得k2＞3．

|AP|·|BQ|＝＝(2x1－1)(2x2－1)

＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋

＝－＋＝＋＝＋＞．

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值为．

此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9．

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程直线与双曲线的位置关系定义法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、 b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”。若集合，集合。则

（1）“好集” P中的元素最大值为________；

（2）“好集” P的个数为________。

正确答案

（1）2012；（2）1006

解析

因为若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则且a + c = 2b，则，故满足条件的“好集”为形如的形式，则，解得，且，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P的个数为1006个，且P中元素的最大值为2012。

知识点

直线与双曲线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知函数，且在处的切线方程为

（1）求的解析式；

（2）证明：当时，恒有

（3）证明：若且则

正确答案

解析

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知识点

直线与双曲线的位置关系

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