热门试卷

（1）由题意，，∴

∴椭圆的方程为；

（2）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0。

设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则

x1+x2=﹣，x1x2=

∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=

（i）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0。

（ii）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，

∵，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴x0=﹣，y0=

∵P在椭圆上，

∴

化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2。

∵1+2k2≠0，

∴有4m2=λ2（1+2k2），…①

又∵△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（1+2k2﹣m2），

∴由△＞0，得1+2k2＞m2，…②

将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，

∴﹣2＜λ＜2且λ≠0。

综合（i）、（ii）两种情况，得实数λ的取值范围是﹣2＜λ＜2；

（3）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d=

∴S△MNO===

由①得，代入上式并化简可得S△MNO=

∵=2

∴S△MNO≤

当且仅当λ2=4﹣λ2，即时，等号成立

∴当时，△MNO的面积最大，最大值为。

（1）设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），则a2－b2=1，①

∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，）和（1，－），

∴  =（1，）•（1，－）=1－，则1－ ＝，即a2=2b4，②

由①，②消去a，得2b4－b2－1=0，∴b2=1或b2=－。

当b2=1时，a2=2 ，因此，椭圆C的方程为。

（2）当直线斜率不存在时，易求A（1，），B（1，－），P（0,1），所以

＝（1，－1），＝（1，－－1），＝（1，－1），

由，得t＝2，直线l的方程为x＝1

当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），A＝（x1，y1），B＝（x2，y2），

所以，＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），＝（1，－1），

由，得

即

因为y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1），所以，y1＋y2＝k（x1＋x2－2），解得：k＝－1

此时，直线l的方程为y＝－x＋1，

联立，得3x2－4x＝0，t＝x1＋x2＝，

所以，当直线斜率存在时，t＝，直线l的方程为y＝－x＋1，

综上所述，存在实数t且t＝2时，直线方程为x＝1，

当t＝时，直线l的方程为y＝－x＋1，

（1）∵椭圆离心率为，.

又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以.

∴椭圆方程为，即. ……………………………………4分

（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数. ……5分

证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，

∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，

由 得.

设，则 ……………6分

∵

∴      ……………………7分

是与k无关的常数，

设常数为t，则.  ……………………10分

整理得对任意的k恒成立，

解得，即在x轴上存在点M（），

使是与K无关的常数.  ……………………………12分

（1）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，

e＝＝＝，所以a＝，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）由题可知，直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.

②设存在直线l为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)。

由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，

x1＋x2＝，x1·x2＝，

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝＋k2(－＋1)＝＝－1

所以k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)。

（3）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)

由(2)可得：|MN|＝|x1－x2|＝

＝＝.

由消去y，并整理得x2＝，

|AB|＝|x3－x4|＝2，

∴＝＝6

（1）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），

知

，

由于 即为中点。

故

，

故椭圆的离心率                                    ------------------4分

（2）由（1）知得于是（，0）, B，

△ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,

D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得=2，∴c =1，b=，

所求椭圆方程为.                         ------------------8分

（3）由（2）知, ：

           代入得

设，

则，     ------------------9分

由于菱形对角线垂直，则

故

则

               ------------------10分

由已知条件知且

故存在满足题意的点P且的取值范围是。        ------------------12分

（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=，…………………………………………………３分

故椭圆方程为=1……………………………………………4分

（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，………………………８分

得，，

则AB（）==，……………9分

令t=,则t≥1,

则,………………………10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分

(1)则由题设可知，

又  

所以椭圆C的方程是.

(2)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，

将它代入椭圆方程，并整理，得，

设点A、B的坐标分别为，则

因为及

所以

当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，

所以解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）。

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是

由解得.

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.

事实上点T（0，1）就是所求的点.     证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分

设点A、B的坐标为，则

因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

（1）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为

因为是的中位线，且,所以

所以，故,

在中，,

即,又,解得

所求椭圆的方程为，

(2) 由（1）得椭圆:

设直线的方程为并代入

整理得:

由得: ,

设

则由中点坐标公式得:,

①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;

②当时,则,直线的方程为

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;

若直线过椭圆的顶点,则即

所以,解得:(舍去) 。

若直线过椭圆的顶点,则即

所以,解得:(舍去) ,

综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点。

（3）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为 ,

根据题意可设，则

则直线的方程为…①

过点且与垂直的直线方程为…②

①②并整理得：,又在椭圆上，所以

所以,即①、②两直线的交点在椭圆上,所以，

法二：由（1）得椭圆的方程为

根据题意可设，则，，

所以直线

，化简得

所以

因为,所以,则.

所以，则,即.

解析：（1）设椭圆方程为，

则 解得

∴椭圆的方程为.                                     3分

（2）①由直线平行于OM，得直线的斜率，

又在轴上的截距为m，所以的方程为.

由  得.

又直线与椭圆交于A、B两个不同点，

，于是.                   3分

为钝角等价于且，

设，

，

由韦达定理，代入上式，

化简整理得，即，故所求范围是.

2分

②依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为，.

由，.                                        2分

而

.

所以 , 故直线MA、MB的倾斜角互补，

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。                  3分

（1）由题意得，得，

结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3.

所以，椭圆的方程为，

（2）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

所以，

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为平行四边形，

所以AF2⊥BF2，

因为，，

所以，

即，

将其整理为，

因为，所以，12≤a2＜18.

所以，即。

（1）由题意可知，b=1，

又因为，且a2=b2+c2，解得a=2

所以椭圆的方程为                  

（2）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）。

设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，

所以直线AP的方程为             

令，则，即        

同理：直线BP的方程为，令，则，

即         

所以

=                    .

而，即4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|为定值1.              

（1）由题意: 解得

椭圆的方程为

（2）（ⅰ）设因为⊥,则因为

所以

因为

所以当时取得最大值为，此时点

（ⅱ）设的方程为,由解得

由    解得

同理可得，

所以，

，

由得解得

所以的方程为，的方程为

或的方程为，的方程为