幂函数的概念、解析式、定义域、值域
共1030题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

正确答案

解析

可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：，所以。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，直线的方程为.

（1）若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；

（2）若对任意成立，求实数、应满足的条件。

正确答案

见解析。

解析

（1）：∵

记切点为，∴切线的方程为

即

∴

记函数,∴

∴

∴在上为减，在为增

故

故即对任意成立

（2）∵对任意成立，即对任意成立

①当时，取，∴，而

∴，∴不合题意。

②当时，若，则对任意成立

若取，∴，而

∴，∴且不合题意，故且不合题意

③当时，

令，，由，得，

所以在上单减，单增

故

∴

综上所述：满足题意的条件是或

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若的三边所对的角分别为，，，且为锐角，，,

，求的面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）

当即时

函数的最大值是

（2）由（1）知

∴，∴

∴

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题型：简答题

简答题 · 10 分

17.设a∈R，满足，

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域。

正确答案

（1）

（2）（-1，2]

解析

（1）f（x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=

由得，解得

因此

令

得

故函数f（x）=的单调递增区间

（2）由余弦定理知：

即2acosB﹣ccosB=bcosC，

又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA

即，所以

当时，，f（x）∈（-1，2]

故f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]

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题型：简答题

简答题 · 13 分

18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BAA1=60°.

（1）证明AB⊥A1C;

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）取AB中点E，连结CE，，，

∵AB=，=，∴是正三角形，

∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面，

∴AB⊥；

（2）由（1）知EC⊥AB，⊥AB，

又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，

∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，

有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),

设=是平面的法向量，

则，即，可取=（，1，-1），

∴=，

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

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