数列与函数的综合_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，数列分别满足，且. 定义，为实数的整数部分，为小数部分，且.

17.分别求的通项公式；

18.记，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知可得，an=f(n)=2n+1,即an=2n+1

因为bn=f(bn-1)=2bn-1+1

所以bn+1=2(bn-1+1)

所以数列bn+1是以首项为b1+1=2,公比为2的等差数列。所以

bn=2n+1

考查方向

构造法求数列的通项公式

解题思路

根据已知条件求出an，根据构造法判断数列bn+1为等比数列，进而求出bn

易错点

不会构造法

教师点评

本题主要考查数列通项公式和前问题,难度一般.求数列通项公式的常用方法有:公式法(包括等差数列的通项公式,等比数列的通项公式, ),累加法,累乘法,构造法等.数列求和的常用方法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,裂项相消法,错位相减法.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

依题意，；；

当时，可以证明，即，

所以，

则，，．

令，，

两式相减得．

∴，检验知，不合，适合，

∴

考查方向

错位相减法求数列的和

解题思路

根据定义知道小数部分，然后分析采用错位相减法求和

易错点

不会构造数列形式，不能想到利用错位相减法求和

教师点评

本题主要考查数列通项公式和前问题,难度一般.求数列通项公式的常用方法有:公式法(包括等差数列的通项公式,等比数列的通项公式, ),累加法,累乘法,构造法等.数列求和的常用方法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,裂项相消法,错位相减法.

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.定义在上函数满足对任意，都有，记数列，有以下命题：

①；②；

③令函数，则；

④令数列，则数列为等比数列.

其中真命题的序号为 .

正确答案

①、②、③

解析

对于①：令,则可以得到，,由此可以解得,因此①正确。

对于②：,令,则可以得到,从而可以得到,因此②正确。

对于③：令,则有,即

,因此③正确；

对于④：

考查方向

本题考查了抽象函数及其应用

解题思路

令x=y=1，代入所给的式子求出f(1)的值，判断①真假；

令x=y=2，代入所给的式子，再结合数列的通项公式判断②真假；

令,代入式子化简后，再由函数g(x)的解析式转化，判断③真假；

利用的通项公式分别求出,令x=2,y=4代入式子化简后，再由等比数列的定义判断④真假。

易错点

本题难度较大，考生容易由于不理解抽象函数、不会用赋值法而导致本题不会做。

教师点评

本体难度较大，综合性较强，需要考生扎实的基础知识和灵活的应变能力。

知识点

数列与函数的综合等差数列与等比数列的综合

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

23.已知集合，设，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。

正确答案

（1）．

（2）当时，（）．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

1）若，则，此时有

，结论成立；

2）若，则，此时有

，结论成立；

3）若，则，此时有

，结论成立；

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立．

综上所述，结论对满足的自然数均成立．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

元素与集合关系的判断数列与函数的综合数学归纳法的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．

（1）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明。

正确答案

（1）则

所以在内至少存在一个零点.

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点.

因为是的零点，所以，即，故.

（2）解法一：由题设，

设

当时,

若,

所以在上递增，在上递减，

所以，即.

综上所述，当时, ；当时

解法二由题设，

当时,

当时, 用数学归纳法可以证明.

当时, 所以成立.

假设时，不等式成立，即.

那么，当时，

.

又

令，则

所以当,,在上递减；

当,,在上递增.

所以，从而

故.即，不等式也成立.

所以，对于一切的整数，都有.

解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，

所以,

令

当时, ,所以.

当时,

而，所以，.

若, ,,

当,,,

从而在上递减,在上递增.所以，

所以当又,，故

综上所述，当时, ；当时

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数零点的判断和求解等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与函数的综合数列与不等式的综合

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