三角形中的几何计算_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．已知函数f（x）＝2＋sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴所在的直线方程；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab＝2，

且a＜b，求a，b的值．

正确答案

（1）；（2） ∴ ，

解析

试题分析：本题属于简单的三角恒等变换及正余弦定理解三角型的问题，（1）先用辅助角公式化简再进一步求解，（2）利用余弦定理最后再构造方程组来解答。

17解：（Ⅰ）

对称轴所在的直线方程为： …………(6分)

（Ⅱ）

是三角形内角

∴， ∴ 即：

∴ 即：

由得：，代入上式可得：解之得：

∴

∴ …………(12分)

考查方向

本题考查了简单的三角恒等变换及正余弦定理解三角型的问题。

解题思路

本题考查简单的三角恒等变换及正余弦定理解三角型，解题步骤如下：（1）先用辅助角公式化简再进一步求解，（2）利用余弦定理最后再构造方程组来解答。

易错点

不会使用辅助角公式合二为一。

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量和向量为共线向量．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若a＝6，求△ABC面积的最大值．

正确答案

（1）；（2）。

解析

试题分析：本题属于向量结合三角函数以及解三角形的知识

（1）根据向量共线的坐标表示得到一个等式，再利用正弦定理实现边角互化从而可以解出角A；

（2）先由余弦定理再结合基本不等式即可。

（Ⅰ）因为向量和向量为共线向量，

所以，由正弦定理得，

即．

由于B是三角形的内角，，则，所以.

（Ⅱ）因为，

所以，

且仅当b=c时取得等号，所以，故，

所以当b＝c时，△ABC面积的最大值为

考查方向

本题考查了向量结合三角函数以及解三角形的知识。

解题思路

本题考查向量结合三角函数以及解三角形的知识，解题步骤如下：

（1）根据向量共线的坐标表示得到一个等式，再利用正弦定理实现边角互化从而可以解出角A；

（2）先由余弦定理再结合基本不等式即可。

易错点

不能联想到基本不等式。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.如图6，为了测量、两点间的距离，选取同一平面上、两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，，，，且与互补，

则的长为_____.

正确答案

7

解析

在三角形ABC中，由余弦定理得，

在三角形ACD中，由余弦定理得，

因为A+C=180，所以，所以，所以，所以AC=7

考查方向

解三角形的实际应用

解题思路

分别在三角形ABC和三角形ACD中使用余弦定理解出AC,列方程解出cosD,最后求出AC

易错点

计算错误,实际问题转化成数学模型的能力

知识点

三角形中的几何计算解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四边形中，=，且，，．

16.求的面积；

17.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

因为，所以，

所以△ACD的面积．

考查方向

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，属于中档题．

解题思路

利用已知条件求出∠D角的正弦函数值，然后求的面积；

易错点

主要易错于计算出错，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅱ）在△ACD中，，

所以．

在△ABC中，

把已知条件代入并化简得：因为，所以

考查方向

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，属于中档题．

解题思路

利用已知条件求出∠D角的正弦函数值，然后求的面积；

易错点

主要易错于计算出错，

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.在中，内角的的对边分别为，且，若是边上一点且，则．

正确答案

解析

在三角形ABC中由正弦定理可以求出,再求出的正弦值，在三角形ADC中再用正弦定理即可解出AD=。

考查方向

正余弦定理解三角形。

解题思路

本题考查正余弦定理解三角形的能力，解题步骤如下：先用正弦定理求出的正弦值，然后求出的正弦值，再用正弦定理即可解出。

易错点

不会灵和应用定理解答。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin（＋C）·sin（－C）．

17.求角A的值；

18.若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由已知得

化简得，故．

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理的应用，均值定理

解题思路

该题解题思路如下

1）利用倍角公式对解析式降次

2）利用特殊角的三角函数求值得到角A，

3）使用正弦定理，进行边角之间的转换

4）根据角的取值范围得到答案

易错点

该题易于忽略了对A的范围的判断，该题属于中档题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）由正弦定理，得，…7分

因为，所以，，

故=

所以．

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理的应用，均值定理

解题思路

该题解题思路如下

1）利用倍角公式对解析式降次

2）利用特殊角的三角函数求值得到角A，

3）使用正弦定理，进行边角之间的转换

4）根据角的取值范围得到答案

易错点

该题易于忽略了对A的范围的判断，该题属于中档题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．在中，，则=（）

A-1

B1

C

D-2

正确答案

A

解析

,可得，

,因为A、B都小于45度，所以C为钝角，所以

考查方向

同角三角函数间的基本关系

解题思路

根据所给条件，求出其他同角三角函数值

易错点

计算错误，忽略取值正负

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数．

17.当时，求的值域；

18.若的内角的对边分别为且，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）

，∴，∴．．．6分

考查方向

本题主要考查三角函数的化简和三角函数的性质、正余弦定理解三角形等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

1。第（1）问先化简函数为一个角的一个三角函数，然后求其值域；

易错点

1.第（1）问直接将区间的端点带入函数导致值域出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）∵由题意可得有，，

化简可得： ∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得：，∵ ∴，所以

考查方向

本题主要考查三角函数的化简和三角函数的性质、正余弦定理解三角形等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

2.先由得后利用正弦定理得，后利用余弦定理求解。

易错点

2.第（2）问不知该往什么方向变形。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．已知中，角所对的边分别是，，且

的周长，面积，则　　　　　.

正确答案

解析

由得a+b-4c=0,周长为a+b+c=5,所以可得c=1,即a+b=4，,再结合可求出．

考查方向

本题主要考查了正余弦定理解三角形。

解题思路

本题利用正弦定理实现角化为边，再利用周长和面积已经余弦定理即可解出角C。

易错点

本题不会利用正弦定理实现边角互化。

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15．在中，角的对边分别为，若，

则_______________

正确答案

解析

因为，所以又，

所以=，所以填

考查方向

余弦定理；解直角三角形

解题思路

先根据余弦定理表示出的式子，然后结合已知条件，求解

易错点

利用定理进行恒等变换时错误

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

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