- 直线的倾斜角与斜率
- 共1491题
已知函数f(x)=
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．
正确答案
（1）∵f(x)=
∴f′（x）=x2+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函数f（x）有极值
故方程x2+2ax-bx=0有两个不等实根
∴△=4a2+4b＞0即a2+b＞0②
由①②得a2+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴f′（x）=x2+2ax-bx≤0在区间[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即
所以a+b的最小值为
设函数f（x）=ax3﹣2bx2+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值﹣
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证：．|f（x1）﹣f（x2）≤
正确答案
解：（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x，都有f（﹣x）=﹣f（x）．
∴﹣ax3﹣2bx2﹣cx+4d=﹣ax3+2bx2﹣cx﹣4d，即bx2﹣2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax3+cx．
∴f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值﹣
∴f ′（1）=0且f（1）=﹣
即3a+c=0且a+c=﹣
解得a=
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直
证明：假设存在x1，x2，则f '（x1）
所以（x12﹣1）（x22﹣1）=﹣1
因为x1，x2∈[﹣1，1]
所以x12﹣1，x22﹣1∈[﹣1，0]
因此（x12﹣1）（x22﹣1）≠﹣1
所以不存在．
（3）证明：∵f ′（x）=x2﹣1，由f ′（x）=0，得x=±1．
当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f ′（x）＞0；
当x∈（﹣1，1）时，f ′（x）＜0．
∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（﹣1）= 
∴在[﹣1，1]上，|f（x）|≤
于是x1，x2∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|= 
故x1，x2∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤ 
若曲线y=x4+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行，则P点的坐标是 ______．
正确答案
设切点P坐标为（m，n）
y'|x=m=（4x3+1）|x=m=4m3+1
∵曲线y=x4+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行
∴4m3+1=-3解得：m=-1
切点P坐标为（-1，n）在曲线y=x4+x上，则n=0
故P点的坐标是（-1，0）
故答案为：（-1，0）
与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-lnx相切的直线方程为______．
正确答案
y'=2x-
解得：x=1或x=-
∴切点坐标为（1，1）
∴曲线y=x2-lnx的切线方程为x-y=0
故答案为：x-y=0
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是
③若α内存在不共线三点到β的距离相等，则平面α∥平面β．其中正确结论的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上）
正确答案
①化简函数y=sin4x-cos4x=-cos2x，可知最小正周期是π，正确．
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的
充要条件是
③若α内存在不共线三点到β的距离相等，则平面α∥平面β．
当三个点分布在平面β的两侧时，也满足条件，故不正确．
故答案为：①
设函数
（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．
正确答案
解：（I）求导函数，可得
∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，
∴f′（1）=0，f′（2）=
∴
∴b=﹣
∴函数f（x）的解析式为
（II）
①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即
∴
②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+
∵b=﹣1﹣c，
∴f极大（x）=clnc 
∴f（x）=0不可能有两解
③若c≥1，则f极小（x）=clnc
∴f（x）=0只有一解
综上可知，实数c的取值范围为
已知函数f（x）=x3-2x2+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
正确答案
（Ⅰ）f′（x）=3x2-4x，由f′（x）=0得x1=0，x2=
当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表
由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x2-4x，
∴f/(x)∈[-
∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉[-
∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．
已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x0∈[1，，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0
处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）f'（x）=ex+a，（1分）
因此y=f（x）在（1，f（1））处的切线l的斜率为e+a，（2分）
又直线x+（e-1）y=1的斜率为
∴（e+a）•
∴a=-1．（5分）
（Ⅱ）∵当x≥0时，f（x）=ex+ax＞0恒成立，
∴先考虑x=0，此时，f（x）=ex，a可为任意实数；（6分）
又当x＞0时，f（x）=ex+ax＞0恒成立，
则a＞-
设h（x）=-
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
故当x=1时，h（x）取得极大值，h（x）max=h（1）=-e，（9分）
∴要使x≥0，f（x）＞0恒成立，a＞-e，
∴实数a的取值范围为（-e，+∞）．（10分）
（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y=exlnx-ex+x，
令u（x）=exlnx-ex+x，则u′(x)=
设v(x)=
当x∈[1，e]，v'（x）≥0，故v（x）在[1，e]上的最小值为v（1）=0，（12分）
所以v（x）≥0，又ex＞0，∴u′(x)=(
而若曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直，
则u'（x0）=0，矛盾．（13分）
所以，不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．
已知函数f(x)=
（I）求l的方程；
（II）求与l平行的切线的方程．
正确答案
（1）f′(x)=
∴f'（0）=-1，
直线l的方程为y=-x-1．
（2）由f′(x)=
又f（2）=5，
所以与l平行的切线的方程是y-5=-（x-2），
即y=-x+7．
若曲线y=
正确答案
因为曲线的某一切线与x轴平行，所以曲线切线的斜率k=y′=0，
即y′=3x+1=0，解得x=-
1
3
)2+（-
则切线方程为y+
故答案为：（-
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