直线的倾斜角与斜率
共1491题

直线的倾斜角与斜率
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题型：简答题

简答题

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．

（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，

∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-)(x-2)．

∴f′（1）=-a=-27，得a=27

∴f（x）=27x（x-2）2（x∈R）（2分）

令fn（x）=0得(x-)(x-2)=0，

∴x=或x=2．

又函数f（x）在(-∞，)上为增函数，

在(，2)上为减函数，

在（2，+∞）上为增函数．（4分）

∴f（x）在x=时取得极大值，f()=32．

在x=2时取得极小值f（2）=0；（6分）

（Ⅱ）由f′(x)=3a(x-)(x-2)，知

当a＞0时，函数f（x）在[-2，]上是增函数，

在[，1]上是减函数．

此时，ymax=f()=a．

又对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜恒成立．

∴a＜，得a＜，

∴0＜a＜．（9分）

当a＜0时，函数f（x）在[-2，]上是减函数，

在[，1]上是增函数．

又f（-2）=-32a，f（1）=a，此时，ymax=f（-2）=-32a．

又对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜恒成立．

∴-32a＜得a＞-，∴-＜a＜0．

故所求实数的取值范围是(-，0)∪(0，)．（12分）

题型：填空题

填空题

若曲线f（x）=x4-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点P的坐标是______．

正确答案

∵f（x）=x4-x+2，

∴f'（x）=4x3-1，

∵切线与直线x+3y-1=0垂直

∴得切线的斜率为3，所以k=3；

∴4x3-1=3，

∴x=1，

点P的坐标是（1，2）．

故答案为：（1，2）．

题型：填空题

填空题

已知函数f(x)=x3+ax-1(a∈R)，其中f'（x）是f（x）的导函数，若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，则a=______．

正确答案

∵f（x）=x3+ax-1，

∴f'（x）=4x2+a，当x=1时，f'（1）=4+a，得切线的斜率为4+a，所以k=4+a；

所以4+a=2，

∴a=-2．

故答案为：-2．

题型：填空题

填空题

平行于直线4x-y-1=0且与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是______．

正确答案

曲线y=x3+x-2求导可得 y′=3x2+1

设切点为（a，b）则 3a2+1=4，解得 a=1或a=-1

切点为（1，0）或（-1，-4）

与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x3+x-2相切的

直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0

故答案为：4x-y-4=0和4x-y=0．

题型：填空题

填空题

已知曲线y=x2-1在x=x0点处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行，则x0的值为______

正确答案

∵y=x2-1∴y'=2x，

∵y=1-x3∴y'=-3x2，

∴2x0=-3x02，

解得x0=0或x0=-．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=x2+blnx和g（x）=的图象在x=4处的切线互相平行，则b=______．

正确答案

g'（x）=

∴g'（4）=6

∵函数f（x）=x2+blnx和g（x）=的图象在x=4处的切线互相平行

∴f'（4）=6

而f'（x）=2x+，则f'（4）=8+=6

∴b=-8

故答案为：-8

题型：填空题

填空题

已知=（6，3），=（-4，-），直线l过点A（3，-1）且与向量+2垂直，则l的一般方程是______．

正确答案

∵由于=（6，3），=(-4，) 而+2=（-2，2），

∵直线l过点A（3，-1）且与向量+2垂直

∴k=1

∴直线l的一般方程是y+1=x-3 即x-y-4=0．

故答案为：x-y-4=0．

题型：简答题

简答题

已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：

（1）若l1⊥l2，求m的值；

（2）若l1∥l2，求m的值．

正确答案

（1）由两直线垂直的充要条件可得：1•（m-2）+m•3=0，解得m=，

故当l1⊥l2时，m=；

（2）由平行的条件可得：=≠，

由=解得：m=-1或m=3；

而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=-1．

题型：简答题

简答题

已知△ABC三边的方程为：AB：3x-2y+6=0，AC：2x+3y-22=0，BC：3x+4y-m=0．

（1）判断三角形的形状；

（2）当BC边上的高为1时，求m的值．

正确答案

（1）直线AB的斜率为kAB=，直线AC的斜率为kAC=-，

所以kAB•kAC=-1，所以直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形；

（2）解方程组，得，即A（2，6）

由点到直线的距离公式得d==，

当d=1时，=1，即|30-m|=5，解得m=25或35．

题型：简答题

简答题

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2．

（1）求曲线C的方程；

（2）求证：直线l1、l2互相垂直；

（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，

∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x2=4y

（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0，

∴x1x2=-4，又y'=x，

∴直线l1的斜率为k1=x1，直线l2的斜率为k2=x2，

∴k1k2=•x1x2=-1，即直线l1和l2互相垂直．

（3）假设y轴上存在一点R（0，y0），使得直线RF始终平分∠ARB，则有kAR+kBR=0

∴+=0

∴x2（y0-y1）+x1（y0-y2）=0∴y0（x2+x1）-（x2y1+x1y2）=0

∴y0(x2+x1)-x1x2( x2+x1)=0

∴y0+1=0∴y0=-1，即存在R（0，-1）满足条件．

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