热门试卷

以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

，．其中a＞m＞n＞0，

．

（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，

，

所以．

在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，

于是．

若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．

故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．

（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），

点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则

，所以d1=d2．

又，所以，即|BD|=λ|AB|．

由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．

将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得

根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是

②

从而由①和②可得

③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．

因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，

等价于，由λ＞1，解得，

即，由λ＞1，解得，所以

当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；

当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．

（1）直线AB的斜率k=tan=-1，

∴直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0

∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==

∴弦长|AB|=2=2=．

（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，

∴OP0⊥AB

又kOP0==-2，∴kAB=

∴直线AB的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0

设Q（x，y）

由已知得kMN=3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ=-1 即 ×3=-1（x≠3）①

由已知得kPN=-2，又PN‖MQ，可得kPN=kMQ，即=-2（x≠1）②

联立①②求解得x=0，y=1

∴Q（0，1）

（2）设Q（x，0）

∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP又∵kNQ=，kNP=-2

∴=2  解得x=1

∴Q（1，0），又∵M（1，-1），

∴MQ⊥x轴

故直线MQ的倾斜角为90°．

设直线l的斜率等于k，

由题意知，k＞kPB，或 k＜KPA，即k＞，或 k＜，

∴k＞1，或 k＜-．

设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），tanα=k，

∴tanα＞1 或  tanα＜-，

α∈（，）．

：（1）由题意可得，解得a=，c=1，b=

所以椭圆E：+=1．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x==3，

设P（3，y0），Q（x1，y1），

因为PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=•==-1，

所以-y1y0=2（x1-1）

又因为kPQ•kOQ=•=且=2(1-)代入化简得kPQ•kOQ=-．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-．

（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-，kOQ=，

∴kPQ=-．

∴直线PQ的方程为y-y1=-(x-x1)，即y=-x+，

联立得(3+2)x2-12x1x+18-9=0，

∵3+2=6，18-9=6．

∴化简得：x2-2x1x+=0，又△=0，

解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

（1） （2）= 证明详见解析．

试题分析：（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．

（2）设过点 的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．

（1）由题意得       3分

所求椭圆C的方程为．        4分

（2）设过点 的直线方程为：，

设点，点                                                 5分

将直线方程代入椭圆

整理得：                                   6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且                                       7分

直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，

所以点的坐标                                          9分

直线 的斜率为

                   11分

将代入上式得：

所以为定值  

（1）kPA==-1…（2分）

kpB==1…（4分）

∵l与线段AB相交，

∴kpA≤k≤kpB∴-1≤k≤1…（8分）

（2）由（1）知0≤tanα≤1或-1≤tanα＜0

由于y=tanx在[0，)及(-，0)均为减函数

∴0≤α≤或≤α＜π…（12分）

（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，

即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．

其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y2=4x．

（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1．

过不过点P的直线方程为y=-x+b，由  得  y2+4y-4b=0，则y1+y2=-4．

由于P（1，2），kAP+kBP=+=+

=+==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 kMN===（***）．

设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），

由，可得y2-y+-4x0=0，

则y0+y1=，∴y1=-y0．

同理y0+y2=-，得y2=--y0．

代入（***）计算得：y1+y2=-2y0 ，∴kMN=-（为定值）．