解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：简答题

简答题

（本小题12分）已知是的三个内角，向量

，且.

（1）求角；

（2）若，求.

正确答案

（1）

（2）

（1）因为

所以；

（2）

所以

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的边长分别为a、b、c，S为△ABC的面积．

（Ⅰ）若4S=a2+b2-c2，求角C；

（Ⅱ）若4S=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．

正确答案

（Ⅰ）由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC，且S=absinC，

∴4S=a2+b2-c2=2abcosC=4×absinC，即tanC=1，

∵C为三角形的内角，

∴C=；

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，4S=a2+b2+c2，

∴4S=4×absinC=a2+b2+a2+b2-2abcosC，即absinC+abcosC=a2+b2，

∴2absin（C+）=a2+b2≥2ab，即sin（C+）≥1，

∴sin（C+）=1，

∵C+∈（，），∴C+=，即C=，

将C=代入得：2ab=a2+b2，即a=b，

则△ABC为等边三角形．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=．

（1）若•=，求a+c的值；

（2）求+的值．

正确答案

（1）由•= 可得 ac•cosB=，因为 cosB=，所以b2=ac=2．

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2+c2=b2+2accosB=5，

则（a+c）2=a2+c2+2ac=9，故a+c=3．

（2）由cosB=可得 sinB=．

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，

于是 +=====．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，若S=(b2-a2-c2)，（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．

正确答案

（1）由S=acsinB，又S=(b2-a2-c2)得：

a2+c2-b2=-acsinB，

则cosB==-sinB，即tanB=-，又B∈（0，π），

所以B=；

（2）由正弦定理得：=，又B=，

所以=（sinA+sinC）=[sinA+sin（-A）]

=（sinA+sincosA-cossinA）=sin（+A），

由A+∈（，），得到sin（+A）∈（，1]，

则∈(1，]．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的面积为1，tanB=，tanC=-2，求△ABC的边长及tanA．

正确答案

∵tanB=，tanC=-2，且A+B+C=π，

∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-=-=，

∵tanB=＞0，

∴0＜B＜，

∴cosB==，sinB==，

又tanC=-2＜0，∴＜C＜π，

∴cosC=-=-，sinC=-=-，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×（-）+×=，

∴由正弦定理=得：a==b，

∴S△ABC=absinC=•b2•=1，

解得：b=，

∴a=×=，

∴c==．

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