解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：填空题

填空题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b-c）cosA=acosC，则A的度数为______．

正确答案

将（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：

（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，

由B∈（0，180°），得到sinB≠0，

所以cosA=，又A∈（0，180°），

则A的度数为60°．

故答案为：60°

题型：简答题

简答题

在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求证：，，成等比数列；

（2）若，，求的面积．

正确答案

（1）证明：由已知得，即，所以．再由正弦定理可得，所以成等比数列．（2）．

试题分析：（1）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得，由正弦定理可证；

（2）由已知结合余弦定理可求，利用同角平方关系可求，代入三角形的面积公式可求．

试题解析：（1）证明：由已知得，

即，所以．

再由正弦定理可得，所以成等比数列．

（2）若，则，所以，

所以．故的面积．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）-csin（+B）=a，

（1）求证：B-C=

（2）若a=，求△ABC的面积．

正确答案

（1）证明：由bsin（+C）-csin（+B）=a，由正弦定理可得sinBsin（+C）-sinCsin（+B）=sinA．

sinB（sinC+cosC）-sinC（sinB+cosB）=．

整理得sinBcosC-cosBsinC=1，

即sin（B-C）=1，

由于0＜B，C＜，从而B-C=．

（2）B+C=π-A=，因此B=，C=，

由a=，A=，得b==2sin，c==2sin，

所以三角形的面积S=bcsinA=sinsin=cossin=．

题型：简答题

简答题

如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=，△EFC的面积为．

（1）求与之间的函数关系；

（2）当角取何值时最大？并求的最大值．

正确答案

（1）；（2）当时，△EFC的面积S最大，最大面积为

试题分析：（1）观察图形知，EF=2，可将EC用表示出来，再由三角形的面积公式建立与之间的函数关系；

（2）由（I）得，其中，对函数的解析式进行化简，再求三角函数的最值即可得到的最大值

（1）过点F作，H为垂足由三角知识可证明

在中，

所以所以的面积

，其中；

（2）由（1）可知S=2sinαcosα﹣2sin2α=

由，得，

∴当，即时，

因此，当时，△EFC的面积S最大，最大面积为．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2+ccos2=b．

（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；

（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）acos2+ccos2=b，

即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，

由正弦定理得：

sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，

即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，

可得sinA+sinC=2sinB，

由正弦定理可得，

整理得：a+c=2b，

故a，b，c为等差数列；

（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：42=a2+c2-2accos60°，

∴（a+c）2-3ac=16，

又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，

∴△ABC的面积S=acsinB=acsin60°=4；

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