解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

已知向量，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，且.若中，角、、的对边分别为、、，且角.

（1）求角的大小；

（2）若的外接圆半径为，试求的取值范围.

正确答案

（1）（2）

（1），，， (2分)

，，，同理，

，而，，， (4分)

又，，，，根据条件，

可得， . （6分）

（2）由正弦定理可得：，.

再由余弦定理可得：，代入数据并整理可得：，根据不等式可得，，，又，的取值范围为. （12分）

题型：填空题

填空题

在△ABC中，若b=1，c=，∠A=，则a=______．

正确答案

在△ABC中，由余弦定理可得 a2=1+3-2cos=1，∴a=1，

故答案为：1．

题型：简答题

简答题

向量,,已知，且有函数.

（1）求函数的周期；

（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边,，求的长及的面积.

正确答案

（1）;（2）,.

试题分析：（1）利用的充要条件得出，再化简成类型求周期；（2）先由条件求出角,再由正弦定理求，然后只需求出或即可求的面积.

试题解析：解：由得 3分

即 5分

（1）函数的周期为 6分

（2）由得即

∵是锐角三角形∴ 8分

由正弦定理：及条件,

得， 10分

又∵

即解得 11分

∴的面积 12分

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若，求在区间上的值域．

正确答案

(1) ;(2) .

试题分析：（1）先由诱导公式及两角的正弦公式将原式展开，再用二倍角公式及半角公式降幂，再用和角公式化为一个角的三角函数，用周期公式求出周期;（2）由不等式性质及所给所在的区间求出的范围，结合正弦（余弦）函数图像求出sin()的范围，再用不等式性质求出的值域.

试题解析： 2分

4分

6分

（1）所以． 8分

（2），

因为，所以，

所以，

，

所以在区间上的值域为． 12分

题型：简答题

简答题

某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；

(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．

正确答案

（1）；（2）百米．

试题分析：（1）求△DEF 面积S△DEF的最大值，先把△DEF 面积用一个参数表示出来，由于它是直角三角形，故只要求出两直角边DE和EF，直角△ABC中，可得，由于EF‖AB，EF⊥ED，那么有，因此我们可用CE来表示FE，DE．从而把S△DEF表示为CE的函数，然后利用函数的知识（或不等式知识）求出最大值；（2）．等边△DEF可由两边EF＝ED及确定，我们设，想办法也把与一个参数建立关系式，关键是选取什么为参数，由于等边△DEF位置不确定，我们可选取为参数，建立起与的关系．，则，中应用正弦定理可建立所需要的等量关系．

试题解析：（1）中，，百米，百米．

，可得，

，，

设，则米，

中，米，C到EF的距离米，

∵C到AB的距离为米，

∴点D到EF的距离为米，

可得，

∵，当且仅当时等号成立，

∴当时，即E为AB中点时，的最大值为．7分

（2）设正的边长为，，

则，

设，可得

，，

∴．

在中，，

即，化简得，12分

（其中是满足的锐角），

∴边长最小值为百米．14分

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