解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：填空题

填空题

锐角三角形ABC中，若A=2B，所对的边分别为则下列四个结论:

① ② ③ ④

其中正确的是________．

正确答案

②③

略

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知c=2，C=

（1）当b=时，求角B的大小．

（2）当△ABC的面积为时，证明△ABC是等边三角形．

正确答案

（1）由c=2，C=，b=，

根据正弦定理得：=，解得sinB=，又B∈（0，π），C=，则B=；

（2）因为△ABC的面积S=bcsinA=absin=，得到ab=4①，

又根据余弦定理得到4=a2+b2-2abcos，化简得：a2+b2-ab=4②，

由①得到a=，代入②得：（b2-4）2=0，解得b2=4即b=2，代入①解得a=2，

因为a=b=c=2，所以是等边三角形．

题型：简答题

简答题

在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）-=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

正确答案

由2sin（A+B）-=0，得sin（A+B）=，

∵△ABC为锐角三角形，

∴A+B=120°，C=60°．（4分）

又∵a、b是方程x2-2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，（6分）

∴c2=a2+b2-2a•bcosC=（a+b）2-3ab=12-6=6，

∴c=，（10分）

S△ABC=absinC=×2×=．（12分）

题型：简答题

简答题

如图所示，角A为钝角，且sinA=，点P、Q分别在角A的两边上．

（1）AP=5，PQ=3，求AQ的长；

（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=，求sin（2α+β）的值．

正确答案

（1）∵∠A是钝角，sinA=，∴cosA=-，

在△APQ中，PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA，

∴45=25+AQ2-2×5AQ•(-)，

解得AQ=2或AQ=-10（舍）即AQ=2；

（2）由cosα=，得sinα=，

又sin（α+β）=sinA=，cos（α+β）=-cosA=，

∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=•+•=．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，cosB=，cosC=-．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）△ABC的面积是3，求BC边长．

正确答案

（Ⅰ）∵B和C为三角形的内角，

由cosB=⇒sinB=，…（2分）

由cosC=-⇒sinC=，…（4分）

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=；…（6分）

（Ⅱ）∵sinC=，sinB=，

∴根据正弦定理=得：c=3b，…（8分）

由（1）知A=，

∴S△=bcsinA=3⇒bc=12⇒3b2=12⇒b=2，

∴c=6，…（10分）

∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=28⇒a=2⇒BC=2．…（13分）

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