解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，B=，b=2，sinC=，求另两条边c、a的长．

正确答案

由正弦定理得=，（2分）

所以c=•sinC=×=2，（4分）

由余弦定理b2=c2+a2-2accosB，（6分）

得20=8+a2-4×a，即a2-4a-12=0，

解得a=6或a=-2（舍）（8分）

所以c=2，a=6．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a=，b=3，∠C=，则角A等于______．

正确答案

根据余弦定理得：

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-6cos=3，

解得：c=，又a=，

∴△ABC为等腰三角形，

∴∠A=∠C=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D点．BE是∠ABC的角平分线，并交AC于E点．若BC=6，CA=7，AB=8．

（1）求DE的长；

（2）求△ABC的面积．

正确答案

（1）∵BE为∠ABC的角平分线，

∴CE：EA=BC：BA=6：8，

∵CA=CE+EA=7，

∴CE=3，EA=4，

设CD=x，根据勾股定理得到CA2-x2=AD2=AB2-BD2，即49-x2=64-（6-x）2，

解得：x=，

过E作EF⊥CD，可得CF：FD=CE：EA=3：4，CF+FD=CD=，

∴CF=，FD=1，

在Rt△CEF中，根据勾股定理得：EF===，

在Rt△EFD中，根据勾股定理得：ED==；

（2）∵BC=6，CA=7，AB=8，

∴cos∠ABC==，

∵∠ABC为三角形的内角，

∴sin∠ABC===，

则S△ABC=BC•AB•sin∠ABC=．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=cosx+sin2-sinx．

（1）求f（x）在x∈[0，π]上的最大值和最小值；

（2）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，b=，c=，求a的长度．

正确答案

函数f(x)=cosx+sin2-sinx

=cosx+（1-cosx）-sinx

=+cosx-sinx

=+cos（x+），

∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，

∴cos（x+）∈[-1，]，

则函数f（x）的最大值为1，最小值为-；

（2）∵f（B）=0，

∴+cos（B+）=0，即cos（B+）=-，

由B为三角形的内角，

得出B+=，即B=，又b=，c=，

根据余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即5=a2+3-a，

解得：a=或a=（舍去），

则a的长度为．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(，1)．

（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．

（Ⅱ）若f()=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．

正确答案

（Ⅰ）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(，1)，

∴msin+cos=1，

∴m=1，（2分）

∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+)．（4分）

∴函数的最小正周期T=2π．（5分）

当x=+2kπ(k∈Z)时，f（x）的最大值为，当x=+2kπ(k∈Z)时，f（x）最小值为-．（7分）

（Ⅱ）因为f()=sinA，即f()=sin=sinA，

∴sinA=sin，

∵A是面积为的锐角△ABC的内角，

∴A=．（10分）

∵S△ABC=AB•ACsinA=，

∴AC=3．（12分）

由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2•AB•ACcosA=7，

∴BC=．（14分）

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