- 数列与不等式的综合
- 共81题
已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由。
正确答案
见解析。
解析
（1）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），
化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，an=2，
当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。
（2）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，
当an=4n﹣2时，Sn=
令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，
当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
知识点
商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数。
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________。
正确答案
解析
又b＞a可得
知识点
已知等差数列
（1）若
（2）若
正确答案
（1）
（2）
解析
本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想。
（1）因为数列
所以
即
（2）因为数列
所以
即
知识点
对于
（1）b2+b4+b6+b8=__；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.
正确答案
（1）3；（2）2.
解析
（1）观察知
一次类推
b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.
知识点
在数列
（1）试写出数列
（2）如果
（3）如果
正确答案
见解析
解析
（1）解：答案不唯一. 如3项子列：
（2）证明：由题意，知
因为 
（3）证明：由题意，设
因为
设 
当
所以 
当
所以
因为 
综上， 
知识点
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