数列与不等式的综合
共81题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：单选题

单选题 · 5 分

10.已知数列(n∈N*)满足an+1=，且t<a1<t+1，其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，则实数k的最小值为（）

正确答案

解析

由于t<a1<t+1，得a2=a1－t，易得0<a1－t<1，即0<a2<1

又t>2，那么a3=t+2－a2=2t+2－a1

又t+1<2t+2－a1<t+2，即t+1<a3<t+2；a4=a3－t=t+2－a1，

又1<t+2－a1<2，即1<a4<2，得a4<t

从而a5=t+2－a4=a1

结合an+k=an(k∈N*)，可得实数k的最小值为4.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

10.已知数列(n∈N*)满足an+1=，且t<a1<t+1，其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，则实数k的最小值为（）

正确答案

解析

由于t<a1<t+1，得a2=a1－t，易得0<a1－t<1，即0<a2<1

又t>2，那么a3=t+2－a2=2t+2－a1，

又t+1<2t+2－a1<t+2，即t+1<a3<t+2；a4=a3－t=t+2－a1，

又1<t+2－a1<2，即1<a4<2，得a4<t，

从而a5=t+2－a4=a1，结合an+k=an(k∈N*)

可得实数k的最小值为4.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列与满足.

(1)若且,求的通项公式;

(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;

(3)设,,求的取值范围,使得对任意，，且

正确答案

（1）

（2）见解析

（3）的取值范围

解析

(1)由，得，

故是首项为1，公差为6的等差数列，

所以的通项公式是

(2)由，

得，所以为常数列，

，即，

因为

所以即，

故的第项是最大项.

(3)因为，所以，

当时，

当时，符合上式.所以，

因为且对任意，故，

特别地，于是.

此时对任意，.

当时，,

由指数函数的单调性知，

的最大值为，

最小值为.

由题意,的最大值及最小值分别为

及.

由及，

解得.

综上所述，的取值范围为.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

18. 已知数列的前项和为，点在直线上，数列的前n项和为，且，．

（Ⅰ）求数列,的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：；

正确答案

（1），；；（2）见解析．

解析

试题分析：本题属于数列中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

解：（Ⅰ）由题意，得 ①

当时，

当时，②

综上，

又

两式相减，得

数列为等比数列，．

（Ⅱ）

是递增数列，

考查方向

本题考查了数列的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查数列问题，解题步骤如下：

1、利用an与Sn的关系求解。

2、利用等比数列的求和公式求解。

易错点

等比数列分项时项数易错。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明裂项相消法求和数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知数列满足，，若，则n的最大值为

正确答案

解析

，由递推得

同理，，，

考查方向

本题主要考察数列的概念以及递推公式。

解题思路

先写出递推关系，再带入进行检验

易错点

弄错递推公式。

知识点

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