平面向量数量积的运算
共232题

· 平面向量数量积的运算

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则

(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为______；

(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为______。

正确答案

;

解析

(1)由题意可得，2a＋b＝(3,1)，故|2a＋b|＝，即与2a＋b同向的单位向量为，即；(2)由题意可得b－3a＝(－2,1)，故(b－3a)·a＝－2.又∵|b－3a|＝，|a|＝1，∴cos〈b－3a，a〉＝

知识点

平行向量与共线向量平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1（）

A若确定，则唯一确定

B若确定，则唯一确定

C若确定，则唯一确定

D若确定，则唯一确定

正确答案

解析

依题意，对任意实数，恒成立，所以

恒成立，若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值. 故选B. 点评：本题考查平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等

知识点

零向量平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：填空题

填空题 · 5 分

若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=　。

正确答案

解析

设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，

∴，解得或。

∴=（3，1），（﹣3，﹣1）。

∴==（2，4）或（﹣4，2）。

∴=

知识点

向量的模平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（　　）

正确答案

解析

∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，

两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，。

（1）若，求证：；

（2）设，若，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，

|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，

所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，

所以，。

（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－。

所以，α－β＝，α＝＋β，

带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，

所以，＋β＝。

所以，α＝，β＝。

知识点

三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是

A若a与b共线，则

C对任意的，有

正确答案

解析

若与共线，则有，故A正确；因为，而

，所以有，故选项B错误，故选B。

知识点

平面向量数量积的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量已知向量. 若向量的夹角为，则实数

正确答案

解析

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为______

正确答案

解析

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.

正确答案

解析

等式平方得：

则，即

得

知识点

向量的模平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为

正确答案

解析

的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点

知识点

平面向量数量积的运算

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