其它方法求和
共22题

· 其它方法求和

其它方法求和
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题型：简答题

简答题 · 12 分

17.等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

正确答案

知识点

等差数列的前n项和及其最值其它方法求和数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 12 分

等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

正确答案

(Ⅰ)设数列的公差为d。由题意有，解得，

所以的通项公式为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

当n=1,2,3时，；

当n=4,5时，；

当n=6,7,8时，；

当n=9,10时，，

所以数列的前10项和为.

知识点

等差数列的性质及应用其它方法求和数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.

（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；

（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.

正确答案

（1）因为，，所以，

从而与不是无穷互补数列．

（2）因为，所以．

数列的前项的和为

．

（3）设的公差为，，则．

由，得或．

若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；

若，则，，．

综上，，．

知识点

其它方法求和数列与函数的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知是公差为3的等差数列，数列满足，.

（I）求的通项公式；

（II）求的前n项和.

正确答案

解：(1) ∵ anbn+1+bn+1=nbn ∴ n=1时 a1·b2+b2=b1

∴ a1· ∴ a1=2 由已知{an}乘以2为首项，公差3的等差数列

∴ an=a1+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1

(2)由①知代入

中∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn

∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ bn+1= (n∈n*)

∴ 设{bn}构成以1为首项，公比为的等比数列

∴ 设{bn}前n项和Sn，则Sn

知识点

等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值其它方法求和

题型：简答题

简答题 · 15 分

17.已知数列和满足，,

（1）求与;

（2）记数列的前n项和为，求.

正确答案

（1）；（2）；

解析

试题分析：(1)利用等比数列的通项公式求出，利用，求出；

(2)利用错位相减法求和即可。

(1) 由，∴，；

∵，∴当n＝1时，，，

当n≥2时，，作差可得，

即，可得；

(2)由(1)可得，

∴，

，

∴

考查方向

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中等题．

解题思路

（1）直接由，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列的通项公式；再由，，取n=1求得，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得的通项公式；

（2）求出，然后利用错位相减法求数列的前n项和为．

易错点

错位相减法求和时的计算，分类讨论的思想的应用.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知数列是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为，且．

（Ⅰ）求和；

（Ⅱ）设，数列的前项和，求的取值范围．

正确答案

（1），则；（2）。

解析

试题分析：本题属于等差数列及数列的求和，

（1）直接利用公式来解答；

（2）先利用裂项相消法求出再进一步求出其范围。

（Ⅰ）设数列的公差为d，则，，

由，解得d＝1，

所以，则．

（Ⅱ）可得所以，

由于为随n的增大而增大，可得．

即的取值范围是．

考查方向

本题考查了等差数列及数列的求和。

解题思路

本题考查等差数列及数列的求和，解题步骤如下：（1）直接利用公式来解答；（2）先利用裂项相消法求出再进一步求出其范围。

易错点

第二问求和不晓得使用裂项相消法去做。

知识点

等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值其它方法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知函数，记。设，若，则的最大值为。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

运用诱导公式化简求值其它方法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知数列{an}的通项公式an =(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜–5成立的自然数n （）

A有最大值63

B有最大值31

C有最小值63

D有最小值31

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

对数的运算性质其它方法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列对任意，都有成立，求的值。

（3）在数列中，，且满足，求下表中前行所有数的和.

……

…… ……

正确答案

（1）（2）（3）

解析

解析：（1）∵是递增的等差数列，设公差为 ……………………1分

、、成等比数列，∴ ……………………2分

由及得 ……………………………3分

∴ ……………………………4分

（2）∵，对都成立

当时，得 ……………………………5分

当时，由①，及②

①－②得，得 …………………7分

∴ …………………8分

∴ ……………10分

(3)∵ ∴

又∵ ∴ ………………………………13分

∵ ………………………………14分

∴第行各数之和

…………16分

∴表中前行所有数的和

知识点

其它方法求和等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

若在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为.

（1）若（），求.

（2）若对任意的，成等差数列，其公差为，设.

①求证：成等差数列；

②若，试求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1），，是首项为1，公比为4的等比数列，

（2）①成等差数列，，又

，，则，得

，，即，

是公差为1的等差数列.

②，则由，解得或.

（ⅰ）当时，，，则，即，

得，所以，

则，

，则

（ⅱ）当时，，则，

即，得，

则，，从而.

综上所述，或。

知识点

等差数列的判断与证明其它方法求和等差数列与等比数列的综合

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