- 其它方法求和
- 共22题
17.等差数列{}中,
(I)求{}的通项公式;
(II)设=[
],求数列{
}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
正确答案
知识点
等差数列{}中,
(I)求{}的通项公式;
(II)设=[
],求数列{
}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
正确答案
(Ⅰ)设数列的公差为d。由题意有
,解得
,
所以的通项公式为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当n=1,2,3时,;
当n=4,5时,;
当n=6,7,8时,;
当n=9,10时,,
所以数列的前10项和为
.
知识点
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
对于无穷数列{}与{
},记A={
|
=
,
},B={
|
=
,
},若同时满足条件:①{
},{
}均单调递增;②
且
,则称{
}与{
}是无穷互补数列.
(1)若=
,
=
,判断{
}与{
}是否为无穷互补数列,并说明理由;
(2)若=
且{
}与{
}是无穷互补数列,求数列{
}的前16项的和;
(3)若{}与{
}是无穷互补数列,{
}为等差数列且
=36,求{
}与{
}得通项公式.
正确答案
(1)因为,
,所以
,
从而与
不是无穷互补数列.
(2)因为,所以
.
数列的前
项的和为
.
(3)设的公差为
,
,则
.
由,得
或
.
若,则
,
,与“
与
是无穷互补数列”矛盾;
若,则
,
,
.
综上,,
.
知识点
17.已知是公差为3的等差数列,数列
满足
,.
(I)求的通项公式;
(II)求的前n项和.
正确答案
解:(1) ∵ anbn+1+bn+1=nbn ∴ n=1时 a1·b2+b2=b1
∴ a1· ∴ a1=2 由已知{an}乘以2为首项,公差3的等差数列
∴ an=a1+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1
(2)由①知代入
中∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn
∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ bn+1= (n∈n*)
∴ 设{bn}构成以1为首项,公比为 的等比数列
∴ 设{bn}前n项和Sn,则Sn
知识点
17.已知数列和
满足,
,
.
(1)求与
;
(2)记数列的前n项和为
,求
.
正确答案
(1);
(2)
;
解析
试题分析:(1)利用等比数列的通项公式求出,利用
,求出
;
(2)利用错位相减法求和即可。
(1) 由,∴
,
;
∵,∴当n=1时,
,
,
当n≥2时,,作差可得
,
即,可得
;
(2)由(1)可得,
∴,
,
∴
考查方向
解题思路
(1)直接由,可得数列
为等比数列,由等比数列的通项公式求得数列
的通项公式;再由
,
,取n=1求得
,当n≥2时,得另一递推式,作差得到
,整理得数列{
}为常数列,由此可得
的通项公式;
(2)求出,然后利用错位相减法求数列
的前n项和为
.
易错点
错位相减法求和时的计算,分类讨论的思想的应用.
知识点
18. 已知数列是首项和公差相等的等差数列,其前n项和为
,且
.
(Ⅰ)求和
;
(Ⅱ)设,数列
的前项和
,求
的取值范围.
正确答案
(1),则
;(2)
。
解析
试题分析:本题属于等差数列及数列的求和,
(1)直接利用公式来解答;
(2)先利用裂项相消法求出再进一步求出其范围。
(Ⅰ)设数列的公差为d,则
,
,
由,
解得d=1,
所以,则
.
(Ⅱ)可得所以
,
由于为随n的增大而增大,可得
.
即的取值范围是
.
考查方向
解题思路
本题考查等差数列及数列的求和,解题步骤如下:(1)直接利用公式来解答;(2)先利用裂项相消法求出再进一步求出其范围。
易错点
第二问求和不晓得使用裂项相消法去做。
知识点
15.已知函数,记
。设
,若
,则
的最大值为
。
正确答案
5
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
11.已知数列{an}的通项公式an =(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn<–5成立的自然数n ( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
已知递增的等差数列的首项
,且
、
、
成等比数列。
(1)求数列的通项公式
;
(2)设数列对任意
,都有
成立,求
的值。
(3)在数列中,
,且满足
,求下表中前
行所有数的和
.
……
……
……
正确答案
(1)(2)
(3)
解析
解析:(1)∵是递增的等差数列,设公差为
……………………1分
、
、
成等比数列,∴
……………………2分
由 及
得
……………………………3分
∴ ……………………………4分
(2)∵,
对
都成立
当时,
得
……………………………5分
当时,由
①,及
②
①-②得,得
…………………7分
∴ …………………8分
∴ ……………10分
(3)∵ ∴
又∵ ∴
………………………………13分
∵ ………………………………14分
∴第行各数之和
…………16分
∴表中前行所有数的和
知识点
若在数列中,
,且对任意的
,
成等比数列,其公比为
.
(1)若(
),求
.
(2)若对任意的,
成等差数列,其公差为
,设
.
①求证:成等差数列;
②若,试求数列
的前
项和
.
正确答案
见解析。
解析
(1),
,
是首项为1,公比为4的等比数列,
.
(2)①成等差数列,
,又
,
,则
,得
,
,即
,
是公差为1的等差数列.
②,则由
,解得
或
.
(ⅰ)当时,
,
,则
,即
,
得,所以
,
则,
,则
(ⅱ)当时,
,则
,
即,得
,
=
则,
,从而
.
综上所述,或
。
知识点
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