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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;

(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx>成立

正确答案

见解析

解析

解析:(1)f′(x)=lnx+1,

当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,

f′(x)>0,f(x)单调递增。

(2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,

设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=,

①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,

②当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

所以h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

所以a≤h(x)min=4.

(3)证明:问题等价于证明xlnx>(x∈(0,+∞)),

由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是,当且仅当时取到,设m(x)=(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易知m(x)max=m(1)=,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>成立。

知识点

基本不等式的实际应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km,设∠BDC=α,所有员工从车间到食堂步行的总路程为S。

(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;

(2)问食堂D建在距离A多远时,可使总路程S最少?

正确答案

见解析。

解析

(1)在△BCD中,∵

,其中

(2)

令S'=0,得

时,S'<0,S是α的单调减函数;

时,S'>0,S是α的单调增函数。

∴当时,S取得最小值。

此时,

=

知识点

函数模型的选择与应用基本不等式的实际应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

一直两个非零向量 ,其中 为 的夹角,若  则 的值为

A-8

B-6

C8

D6

正确答案

D

解析

知识点

基本不等式的实际应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成         米。

正确答案

答案:100

解析

知识点

基本不等式的实际应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若两个正实数满足,并且恒成立,则实数的取值范围是

A

B

C(-2,4)

D(-4,2)

正确答案

D

解析

,当且仅当,即时等号成立. 由恒成立,则,解得,故选D.

知识点

不等式恒成立问题基本不等式的实际应用
下一知识点 : 不等式的实际应用
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