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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图所示,是一个矩形花坛,其中AB= 6米,AD = 4米,现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园,要求:B在上,D在上,对角线过C点, 且矩形的面积小于150平方米。

(1)设长为米,矩形的面积为平方米,试用解析式将表示成的函数,并写出该函数的定义域;

(2)当的长度是多少时,矩形的面积最小?并求最小面积。

正确答案

(1),定义域为(2)平方米

解析

(1)由△NDC∽△NAM,可得

,即,……………………3分

,     ………………………5分

,可得解得

故所求函数的解析式为,定义域为。 …………………………………8分

(2)令,则由,可得

                    …………………………10分

,                                …………………………12分

当且仅当,即,又,故当时,取最小值96。

故当的长为时,矩形的面积最小,最小面积为平方米。

知识点

平面的概念、画法及表示
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图4,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据: ,,DC=CE=1(百米).

(1)求△CDE的面积;

(2)求A,B之间的距离.

正确答案

见解析。

解析

(1)连结DE,在CDE中,

(平方百米)

(2)依题意知,在RTACD中,

在BCE中,

由正弦定理

在ABC中,由余弦定理

可得

(百米)

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面

(1)求证:

(2)求直线与平面所成的角;

(3)设点在棱上,,若∥平面,求的值.

正确答案

见解析

解析

(1)在直角梯形ABCD中,

所以,所以.                  …………2分

又因为,所以   由,所以

所以                                         …………4分

(2)如图,在平面ABCD内过D作直线DF//AB,交BC于F,分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

由条件知A(1,0,0),B(1,,0),

,则,     …………5分

由(1)知.

.

                           …………7分

 即直线. …………8分

(3)由(2)知C(-3,,0),记P(0,0,a),则

,所以

=

…………10分

为平面PAB的法向量,则,即,即.

 进而                                    …………12分

,得

                         …………14分

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图6,已知四边形是矩形,,三角形是正三角形,且平面平面

(1)若的中点,证明:

(2)求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图所示,在棱长为2的正方体中,,分别为线段,

中点。

(1)求异面直线所成的角;

(2)求三棱锥的体积。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)连,由分别为线段的中点,

可得,故即为异面直线所成的角。   …………………2分

在正方体中,∵平面

平面,∴

中,

,∴

所以异面直线EF与BC所成的角为,……… 6分

(2)在正方体中,由平面平面

可知,∵中点,

,又相交,∴平面,  …………………………9分

所以三棱锥的体积为

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

在平行四边形中,若,则___________.

正确答案

解析

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F分别是AB、PD的中点。

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求二面角P﹣EC﹣D的余弦值;

(3)求点B到平面PEC的距离。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,所以以A为原点,如图建立直角坐标系。

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F(),P(0,0,1)。

取PC的中点M,连结ME,则M(),

,即AF∥EM,又EM⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,所以AF∥平面PEC;

(2)设平面PEC的法向量为

,可得,令z=﹣1,得y=1,x=﹣1。

取平面ABCD的一个法向量为

=

所以二面角P﹣EC﹣D的余弦值等于

(3),平面PEC的法向量

所以点B到平面PEC的距离d=

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在平行四边形中,若,则     。

正确答案

-3

解析

知识点

平面的概念、画法及表示
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题型: 单选题
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单选题 · 4 分

在四边形ABCD中,,且·=0,则四边形ABCD是            (   )

A菱形

B矩形

C直角梯形

D等腰梯形

正确答案

A

解析

知识点

平面的概念、画法及表示
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面为菱形,的中点。

(1)点在线段上,,试确定的值,使平面

(2)在(1)的条件下,若平面平面ABCD,求二面角的大小。

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,平面

下面证明:若平面,连

可得,

平面平面,平面平面

   即:

         6分

(2)由PA=PD=AD=2, Q为AD的中点,则PQ⊥AD。        7分

又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,连BD,四边形ABCD为菱形,

∵AD=AB,  ∠BAD=60°△ABD为正三角形,

Q为AD中点, ∴AD⊥BQ             8分

以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为A(1,0,0),B(),Q(0,0,0),P(0,0,

设平面MQB的法向量为

可得

取z=1,解得:    ………10分

取平面ABCD的法向量设所求二面角为

故二面角的大小为60°,,,,,,,,,,,,,,12分

知识点

平面的概念、画法及表示
下一知识点 : 平面的基本性质及推论
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