- 平面的基本性质及推论
- 共22题
如图,在四棱锥中,平面
平面
,且
,
,四边形
满足
,
,
,点
分别为侧棱
上的点,且
。
(1)求证:平面
;
(2)当时,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)是否存在实数,使得平面
平面
?若存在,
试求出的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知,,
所以 ,
因为,所以
。
而平面
,
平面
,
所以平面
, ……………………………………………………4分
(2)因为平面平面
,
平面平面
,且
,
所以平面
.
所以,
。
又因为,
所以两两垂直, ……………………………………………………5分
如图所示,建立空间直角坐标系,
因为,
,
所以
。
当时,
为
中点,
所以,
所以,
设异面直线与
所成的角为
,
所以,
所以异面直线与
所成角的余弦值为
。…………………………………9分
(3)设,则
。
由已知,所以
,
所以 所以
。
设平面的一个法向量为
,因为
,
所以 即
令,得
。
设平面的一个法向量为
,因为
,
所以 即
令,则
。
若平面平面
,则
,所以
,解得
。
所以当时,平面
平面
,…………………………………………14分
知识点
在直角坐标系中,曲线C参数方程为
为参数),
.点
为曲线C上任一点,点
满足
,若以
为极点,以
轴正半轴为极建立极坐标系,则点
所在曲线的极坐标方程为__________ 。
正确答案
解析
略
知识点
已知是平面,
是直线,则下列命题中不正确的是( )。
正确答案
解析
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以正确;如果两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以
正确;
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面平行,所以也正确;
只有选项错误,答案:
。
知识点
如图,在直角坐标系中,角
的顶点是原点,始边与
轴正半轴重合,终边交单位圆于点
,且
,将角
的终边按逆时针方向旋转
,交单位圆于点
,记
。
(1)若,求
;
(2)分别过作
轴的垂线,垂足依次为
,记△
的面积为
,△
的面积为
。若
,求角
的值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)解:由三角函数定义,得 ,
。 ………………2分
因为 ,
,
所以 。 ………………3分
所以 。 ………………5分
(2)解:依题意得 ,
。
所以 , ………………7分
, ……………9分
依题意得 ,
整理得 。 ………………11分
因为 , 所以
,
所以 , 即
。 ………………13分
知识点
已知与
为互相垂直的单位向量,
,
,且
与
共线,则实数
= 。
正确答案
4
解析
略
知识点
设是两条不同的直线,
是三个不同的平面,下列命题正确的是( )
正确答案
解析
略
知识点
在空间,下列命题正确的是( )
正确答案
解析
由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。
知识点
如图,在三棱拄中,
侧面
,已知
(1)求证:;
(2)试在棱(不包含端点
上确定一点
的位置,使得
;
(3)在(2)的条件下,求二面角的平面角的正切值.
正确答案
见解析。
解析
(1)因为侧面
,故
在中,
由余弦定理有
故有
而 且
平面
(2)由
从而 且
故
不妨设 ,则
,则
又 则
在中有
从而
(舍负)
故为
的中点时,
法二:
以为原点
为
轴,设
,则
由
得
即
化简整理得
或
当时
与
重合不满足题意
当时
为
的中点
故为
的中点使
(3)
取的中点
,
的中点
,
的中点
,
的中点
连则
,连
则
,连
则
连则
,且
为矩形,
又 故
为所求二面角的平面角
在中,
法二:由已知, 所以二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角
因为
故
知识点
如图,是圆
的直径,
是圆
上的点,
,
,
,则
的值为
正确答案
解析
设,建立如图所示坐标系,则
,
,
,故
。
知识点
如图,在斜三棱柱中,点
、
分别是
、
的中点,
平面
.已知
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求异面直线与
所成的角;
(3)求与平面
所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
解法一:
(1)证明:∵点、
分别是
、
的中点,
∴ ,又∵
平面
,
平面
,
∴平面
。
(2)∵平面
,∴
,又∵
,且
,
∴平面
,∴
。
又∵, ∴四边形
为菱形,
∴,且
∴
平面
,
∴,即异面直线
与
所成的角为
。
(3)设点到平面
的距离为
,∵
,
即△
。
又∵在△中,
,∴
△
。
∴,∴
与平面
所成角的正弦值
。
解法二:
如图建系,
,
,
,
,
。
(1)∵,
,∴
,即
,
又∵平面
,
平面
,∴
平面
。
(2)∵,
,∴
,即∴
,
∴异面直线与
所成的角为
。
(3)设与平面
所成角为
,∵
,
设平面的一个法向量是
则 即
不妨令,可得
,
∴,
∴与平面
所成角的正弦值
。
知识点
扫码查看完整答案与解析