函数的最值及其几何意义
共151题

· 函数的最值及其几何意义

函数的最值及其几何意义
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知.

（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；

（2）是否存在a，使函数在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义导数的几何意义

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数（为常数）。

（1）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）当时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，，都有

成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴，，

∴函数的图象在点（）处的切线方程为，

∵直线与函数的图象相切，由消去y得，

则，解得-

（2）当时，∵，

∴，-

当时，，∴在上单调递减，

，-

则，

∴,故满足条件的最大整数.-

（3）不妨设，∵函数在区间[1,2]上是增函数，∴，

∵函数图象的对称轴为，且，∴函数在区间[1,2]上是减函数，

∴，-

∴等价于，

即，

等价于在区间[1,2]上是增函数，

等价于在区间[1,2]上恒成立，

∴，又，∴.-

知识点

函数单调性的性质函数的最值及其几何意义导数的几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

关于函数，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当是增函数；当是减函数；

③的最小值是；

④在区间上是增函数；

⑤无最大值，也无最小值.

其中所有正确结论的序号是_____________.

正确答案

解析

略

知识点

命题的真假判断与应用函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

记实数中的最大数为，最小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为。

（ⅰ）若△为等腰三角形，则______；

（ⅱ）设，则的取值范围是______。

正确答案

，

解析

略

知识点

函数的最值及其几何意义不等式的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数，；，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）设，且，，证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）显然的定义域为，，

令，

ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）ⅰ）时，，所以；

ⅱ）时，易知，

于是：，，

由（1）可知，下证，

即证明不等式在上恒成立。

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，

若，则，

故，

即当时，，从而，

故当时，恒成立，即.

（法二）令，，则，列表如下：

由表可知：当时，，

即恒成立，即.

由于，且，

故函数区间内必存在零点。

又当时，，

于是指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，

于是指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时，必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时，在上的最大值为.

（3）证法一：令，显然有：，，

则不等式.

注意到：，且，，即，且，

于是，，

故，

从而，即，又，

故原不等式成立，证毕.

证法二：同上可将不等式化为：,

即，令，则等价于证明：当时，有成立，

又，

故，

于是，即得证，

又，故原不等式成立，证毕。

知识点

函数单调性的性质函数的最值及其几何意义数列与函数的综合数列与不等式的综合

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