热门试卷

（1）解：由于对任意都有

令，得

解得                                 

令得

∴函数是奇函数，                            

（2）解：先用数学归纳法证明

①当n=1时，得结论成立。

②假设n=k时，结论成立，即

当时,由于

又

即时，结论也成立。

由①②知对任意                   

求数列的通项公式提供下面两种方法。

法一：

∵函数是奇函数

∴数列是首项为，公比为2的等比数列。

∴数列的通项公式为                  

法二：                       

∴数列是首项为，公比为2的等比数列。

∴数列的通项公式为             

（3）证法一：由(2)知

当且时，

.

.                          

，

∴当时，.          

∴当时，.        

证法二：由（2）知，

，

.                          

(n∈N*，且)

.                       

下面用数学归纳法证明不等式成立。

①当n=2时，左边右边。

∴n=2时，不等式成立.                 

②假设时，不等式成立，即，

则n=k+1时，

左边   

右边，                   

时，不等式也成立。

由①②知，当时，成立。       

证法三：由(2)知，故对，有

.                    

由于对任意x>0，y>0，有，其中表示x与y的较大值。

于是对，有

.                          

故  

.              

（1）为奇函数；为偶函数；为偶函数；

为奇函数；为偶函数; 为奇函数.

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；

另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，

一个为偶函数;故基本事件总数为 。

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为,

（2）可取1，2，3，4。 ，

；

故的分布列为

    的数学期望为