二次函数与幂函数_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

设

25.求；

26.证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；

（Ⅰ）由题设，

所以 ①

由 ②

①②得

，

所以

考查方向

本题考查了函数求导.错位相减法求数列的和，计算比较复杂，注意细心．

解题思路

在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；）

易错点

错误相减法项数的对应关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）因为

，

所以在内至少存在一个零点，

又

所以在内单调递增，

因此，在内有且只有一个零点，

由于，

所以

由此可得

故

所以

解析

试题分析：（Ⅱ）因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，继而得.

考查方向

本题考查了函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心．

解题思路

有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；

易错点

单调性与零点的关系；构造函数与原函数之间性质的对应关系

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

设函数在点处的切线与直线平行.

23.求a的值；

24.是否存在自然数k,使得方程在（k,k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k;如果不存在，请说明理由；

25.设函数（min表示，p,q中的较小值），求m(x) 的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

（1）由题意知，曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线斜率为2，所以又所以a=1.

考查方向

考查导数的几何意义；直线的位置关系

解题思路

利用导数的几何意义得到然后根据导数中的变量列方程求解。

易错点

导数的几何意义与切线斜率的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2) k=1时，方程f(x)=g(x) 在(1,2)内存在唯一的根.设,当x(0,1时，h(x)<0.又h(2)=3ln2－所以存在.

因为,所以当x当x,所以当x（1，+）时，h(x)单调递增. k=1时，方程在（k,k+1）内存在唯一的根.

解析

见答案

考查方向

考查函数零点的存在性，利用导数研究函数零点。

解题思路

首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.

易错点

应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(3)由（2）知，方程在（1,2）内存在唯一的根,且时，

,x(,+)时,,所以m(x)=,当x(0, )时，若x,m(x);若x，

由.

当x时，由，m(x)单调递增；x单调递减；可知m(x)综上可得函数m(x)的最大值为.

考查方向

考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化与化归的思想。

解题思路

结合（2）的结论确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.

易错点

利用导数研究函数的单调性、最值.

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14．已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为

正确答案

解析

考查方向

本题考察了双曲线的渐近线问题。

解题思路

易错点

容易出现渐近线的斜率k=a/b.

知识点

二次函数的应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，如果水位下降m后（水深大于5 m），水面宽度为

A2 m

Bm

C 6 m

D 4 m

正确答案

C

解析

建立适当的坐标系，以顶点为坐标原点，抛物线开口向下，可设为，将点代入即可解得抛物线的方程为，再将y=代入即可解得x=，所以水面宽度为6.

考查方向

抛物线的相关问题。

解题思路

建立直角坐标系，然后计算出抛物线的方程，然后即可解出水面的宽。

易错点

不知道建立坐标系来求解。

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 15 分

已知二次函数，

24.当时，的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式；

25.若,恒成立，求的取值范围；

26.在（II）条件下若 ,求证：当时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

，的两根为2,3

…………2分

解得

………………………………………………………………………………4分

考查方向

二次函数与方程之间的关系

函数综合题

解题思路

利用所给条件求出b和c的值，因此求出函数的解析式

易错点

化简错误，解方程错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

又

….8分

……………………………………………………….9分

考查方向

函数与不等式综合题

利用不等式恒成立的条件，求参数的取值范围

解题思路

根据不等式恒成立，利用不等式和函数的性质和特征运算化简，可得参数的取值范围

教师点评

逻辑关系混乱，不等式化简失误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由……..11分

…………………………………………………15分

考查方向

不等式和函数的综合题

利用函数性质证明不等式

解题思路

先根据题意，表示出a、b、c的值，然后根据不等式的性质，化简计算，证明出不等式的结论

易错点

不能够造出适当的函数，不会利用不等式求函数的最值

1

题型：填空题

|

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的个单位得到的图像，则______.

正确答案

解析

作逆变换：将左移，再将横坐标伸长两倍可得的图像，故：，从而

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在中，内角所对的边分别为，且

（1）若，求的值;

（2）若，且面积，求和的值.

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知，由余弦定理：

（2）由已知

整理得：

即：

面积

由已知

联立上面的三个式子解出

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

将一个总数为、、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取个个体。

正确答案

20

解析

考查分层抽样应从中抽取

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13.若二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c的值域是[0，＋∞)，则a＋c的最小值为________．

正确答案

2

解析

易知f(x)在x=处取得最小值0，则

所以ac=1

所以,当且仅当a=c=1时等号成立。所以a+c的最小值为2.

考查方向

二次函数的值域和基本不等式的计算

解题思路

根据二次函数的最值为0求出a和c的关系，然后求出a+c的最小值。

易错点

求最小值时易计算出错，基本不等式运用错误。

教师点评

本题难度中等，但本题是在知识的交汇点出题。

知识点

二次函数在闭区间上的最值二次函数的应用

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

教师点评

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

知识点