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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知圆C:的圆心为抛物线的焦点,直线3x+4y+2=0与圆C相切,则该圆的方程为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知平面上点其中,当变化时,则满足条件的点在平面上所组成图形的面积是()。

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

圆的标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.

(1)求椭圆的方程;

(2)直线与椭圆交于两点,若线段的垂直平分线经过点,求为原点)面积的最大值.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形,∴, ∴,                         …………2分

又∵椭圆经过点,代入可得

∴故所求椭圆方程为                               …………4分

(2)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率,

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,此时

所以,因为,所以

所以,当且仅当时,取得最大值为, ……………7分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以,代入得到       ……………8分

,    即                         

方程有两个不同的解又     ………………10分

所以,又,化简得到    

代入,得到                                  …………………11分

又原点到直线的距离为

所以

考虑到化简得到        …………………13分 因为,所以当时,即时,取得最大值.

综上,面积的最大值为.             …………………14分

知识点

圆的标准方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的

方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知圆心在第一象限的圆C经过坐标原点O,与x轴的正半轴交于另一个点A,且∠OCA=120°,该圆截x轴所得弦长为2,则圆C的标准方程为   ▲   。

正确答案

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.

(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;

(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)=3x2+4ax+b,=2x-3.

由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,

故有f(2)=g(2)=0,=1.

由此得解得

所以a=-2,b=5,切线l的方程为x-y-2=0.

(2)由(1)得f(x)=x3-4x2+5x-2,

所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.

依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0有三个互不相同的实根0、x1、x2

故x1、x2是方程x2-3x+2-m=0的两相异的实根。

所以Δ=9-4(2-m)>0,即m>-

又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立。

特别地,取x=x1时,f(x1)+g(x1)-mx1<-m成立,得m<0.

由韦达定理,可得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0,

故0<x1<x2.

对任意的x∈[x1,x2],有x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,

则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,

又f(x1)+g(x1)-mx1=0,

所以函数f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]的最大值为0.

于是当-<m<0时,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立。

综上,m的取值范围是.

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

为平面直角坐标系上的两点,其中.令,若,且,则称点为点的“相关点”,记作:.

(1)请问:点的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;

(2)已知点,若点满足,求点的坐标;

(3)已知为一个定点,点列满足:其中,求的最小值。

正确答案

见解析

解析

(1)因为为非零整数)

,所以点的“相关点”有8个………………1分又因为,即

所以这些可能值对应的点在以为圆心,为半径的圆上………………3分

(2)设,因为

所以有………………5分

所以,所以   所以………………7分

(3)当时,的最小值为0………………8分

时,可知的最小值为………………9分

时,对于点,按照下面的方法选择“相关点”,可得

的最小值为………………11分

时,对于点,经过次变换回到初始点,然后经过3次变换回到,故的最小值为

综上,当时,的最小值为

时,的最小值为0

时,的最小值为1        ………………13分

知识点

两点间距离公式的应用圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知曲线的参数方程是为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是

正确答案

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知圆和圆,直线与圆相切于点;圆的圆心在射线上,圆过原点,且被直线截得的弦长为

(1)求直线的方程;

(2)求圆的方程。

正确答案

见解析。

解析

(1)(法一)∵点在圆上,

∴直线的方程为,即

(法二)当直线垂直轴时,不符合题意。

当直线轴不垂直时,设直线的方程为,即

则圆心到直线的距离,即:,解得

∴直线的方程为

(2)设圆,∵圆过原点,∴

∴圆的方程为

∵圆被直线截得的弦长为,∴圆心到直线的距离:

整理得:,解得

,∴

∴圆

知识点

直线的一般式方程圆的标准方程直线与圆相交的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为圆心,且与直线相切的圆的方程是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

圆的标准方程
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