圆的标准方程
共94题

· 圆的标准方程

圆的标准方程
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题型：简答题

简答题 · 16 分

已知的三个顶点在抛物线:上运动，

（1）求的准线方程；

（2）已知点的坐标为，为抛物线的焦点,求的最小值，并求此时点的坐标；

（3）若点在坐标原点，边过定点, 点在上，且，求点的轨迹方程.

正确答案

见解析

解析

（1）由得所以准线为 ……3分

（2）由得所以,焦点坐标为 ……4分

由作准线的垂线,垂足为 ,当且仅当三点共线时,

的最小值，为, ……7分

此时点的坐标为 ……9分

（3）设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的), ①……10分

又的斜率为,则有 ,既代入① ……14分

故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……16分

知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一

点，AE为圆O的切线，求证：CD2＝BD·EC。

正确答案

见解析。

解析

因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE，

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，

所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC，

所以，即AD·CA＝BD·EC，

因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD，

所以CD2＝BD·EC.

知识点

圆的标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆心到直线l的距离是　　。

正确答案

解析

直线方程为y=x+1，圆的方程为（x﹣1）2+y2=1。

于是圆心（1，0）到直线x﹣y+1=0的距离为。

故答案为：

知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知圆C方程：（x－1）2 + y 2=9，垂直于x轴的直线L与圆C相切于N点（N在圆心C的右侧），平面上有一动点P，若PQ⊥L，垂足为Q，且；

（1）求点P的轨迹方程；

（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与x，y轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标.

正确答案

见解析。

解析

（1）设点坐标为，分

则，

因为，所以，

化简得

所以点的轨迹方程是

（2）依题意得，点坐标为，点坐标为

设点坐标为，

则四边形的面积,

又因为，所以

所以，即

所以四边形的最大面积为，

当四边形的面积取最大时，，即，

此时点坐标为

知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由已知可得， ………2分

所求椭圆方程为，………4分

（2）设点，的中点坐标为,

则 ………6分

由,得代入上式 ………8分

得 ………10分

（3）若直线的斜率存在，设方程为，依题意。

设，，

由得。 ………11分

则。

由已知，

所以，

即。 ………12分

所以，整理得。

故直线的方程为，即（）。

所以直线过定点（）。 ………14分

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，

由已知，

得，此时方程为，显然过点（）。

综上，直线过定点（）。 ………16分

知识点

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