抛物线焦点弦的性质
共78题

· 抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)

A－1

正确答案

解析

由a·b＝1，得1×2－1×x＝1，解得x＝1，故选D

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)。

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值。

正确答案

（1）x2＝4y（2）

解析

(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则，

所以抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

从而|x1－x2|＝4.

由

解得点M的横坐标.

同理点N的横坐标xN＝.

所以|MN|＝|xM－xN

＝

＝.

令4k－3＝t，t≠0，则.

当t＞0时，|MN|＝.

当t＜0时，|MN|＝.

综上所述，当，即时，|MN|的最小值是.

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点。

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.

正确答案

见解析

解析

（1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

（2）连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点。

由Q为PA中点，得QM∥PC.

又O为AB中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，

MO平面QMO，BC∩PC＝C，

BC平面PBC，PC平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG平面QMO，

所以QG∥平面PBC.

知识点

平行关系的综合应用抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△和△的面积分别为和.

（1）当直线与轴重合时，若，求的值；

（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由。

正确答案

见解析

解析

依题意可设椭圆和的方程分别为

：，：. 其中，

（1）如图，若直线与轴重合，即直线的方程为，

则，，所以.

在C1和C2的方程中分别令，可得，，，

于是.

若，则，化简得. 由，可解得.

故当直线与轴重合时，若，则.

（2）如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，

不妨设直线：，

点，到直线的距离分别为，，则

因为，，所以.

又，，所以，即.

由对称性可知，所以，

，于是

. ①

将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

，.

根据对称性可知，，于是

. ②

从而由①和②式可得

. ③

令，则由，可得，于是由③可解得.

因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，

等价于. 由，可解得，

即，由，解得，所以

当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；

当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.

知识点

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