抛物线焦点弦的性质
共78题

· 抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆＞b＞的离心率为，且过点

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线与椭圆交于A，B两点，使，并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为.设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点.

（1）求抛物线的方程;

（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程;

（3）当点在直线上移动时，求的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意,解得(负根舍去)

抛物线的方程为;

(2)设点,,, 由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为,

即. ∵, ∴ .

∵点在切线上, ∴. ①

同理, . ②

综合①、②得,点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的,

∴直线的方程为,即;

(3)由抛物线的定义可知,

所以

联立,消去得,

当时,取得最小值为

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图所示的三棱柱，其正（主）视图是一个边长为2的正方形，俯视图是一个正三角形，则该三棱柱侧（左）视图的面积为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数，其中a为常数.

（1）若上是单调增函数，求a的取值范围；

（2）当在区间上不是单调函数时，试求函数的零点个数，并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知双曲线，设是双曲线上任意一点, 为坐标原点，设为双曲线右焦点.

（1）若双曲线满足：无论点在右支的何处，总有，求双曲线在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围；

（2）过右焦点的动直线交双曲线于、两点，是否存在这样的，的值，使得△为等边三角形.若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，说明理由.

正确答案

（1）（2）（其中m为正常数），使△为等边三角形

解析

（1）（或）；

，，恒成立，

所以，，，

设所求的倾斜角为，则，得.

（2）由及（1）得，所以，

于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，

若关于原点对称，则A、O、B、F共线，这是不可能的；

若关于y轴对称，则AB∥x轴，这也是不可能的；

若关于x轴对称，则AB∥y轴，又A、F、B共线，所以A、B都在右支上，

于是由Rt△OAF的各边关系，得且，所以，即，也即，

设，则，所以存在这样的

（其中m为正常数），使△为等边三角形.

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为（）

Ay=x-1或y=-x+1

By=（X-1）或y=（x-1）

Cy=（x-1）或y=（x-1）

Dy=（x-1）或y=（x-1）

正确答案

解析

略。

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

若点在直线上，则的最小值是

（）

正确答案

解析

略。

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的最大值是。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点，解决下列问题：

已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为。.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；

（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；

（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.

正确答案

见解析

解析

（1），得，抛物线方程为，

焦点坐标，准线方程为，

（2）由，得，

点

设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得

由于、的横坐标相同，垂直于轴。

（3），。

。

的面积与、无关，只与有关。

（本小题也可以求，切点到直线的距离

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.设函数，

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；

（Ⅱ）讨论的单调性；

（Ⅲ）讨论方程根的个数.

正确答案

见解析。

解析

（Ⅰ）因为曲线在点处的切线方程为，而，所以，

所以，即（Ⅱ）因为，

所以当，即时，恒成立，此时的单调性在单调递增.当时，令，可得，，所以在和单调递增，

在单调递减。

（Ⅲ）因为方程可化为，

令，，令，

解得x＝－1（舍），x＝1，所以在（0,1）单调递减，在单调递增，

所以，

当b－1＞0即b＞1时，方程无解；

当b＝1时，方程有唯一解；

当b＜0时，方程有两解.

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