抛物线焦点弦的性质
共78题

· 抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆＞b＞的离心率为，且过点

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线与椭圆交于A，B两点，使，并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为.设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点.

（1）求抛物线的方程;

（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程;

（3）当点在直线上移动时，求的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意,解得(负根舍去)

抛物线的方程为;

(2)设点,,, 由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为,

即. ∵, ∴ .

∵点在切线上, ∴. ①

同理, . ②

综合①、②得,点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的,

∴直线的方程为,即;

(3)由抛物线的定义可知,

所以

联立,消去得,

当时,取得最小值为

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

若点在直线上，则的最小值是

（）

正确答案

解析

略。

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的最大值是。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点，解决下列问题：

已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为。.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；

（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；

（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.

正确答案

见解析

解析

（1），得，抛物线方程为，

焦点坐标，准线方程为，

（2）由，得，

点

设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得

由于、的横坐标相同，垂直于轴。

（3），。

。

的面积与、无关，只与有关。

（本小题也可以求，切点到直线的距离

知识点

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