• 空间几何体的三视图、表面积和体积
  • 共1381题
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1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

已知是两个不共线的非零向量。

(1)设),,当三点共线时,求的值。

(2)如图,若夹角为,点是以为圆心的圆弧上一动点,设),求的最大值。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意,可设,(2分)

代入上式,

,解得,(6分)

(2)以为原点,轴建立直角坐标系,则

),则,由,得,于是,(10分)

于是

故当时,的最大值为,(14分)

另解:设),由

,可得

于是

故当时,的最大值为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是,且它的8个顶点

都在同一个球面上,这个球面的表面积为125π 则的值为(      )

A5

B6

C8

D10

正确答案

D

解析

因为球的半径为R=,所以有

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

图,△中, ,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与分别相切于点,与交于点),将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;

(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

正确答案

(1)(2)

解析

解析:(1)连接,则

,          …………3分

,则

,又,所以,…………6分

所以,      …………8分

(2)

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在长方体中,,过三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.

(1)求棱的长;

(2)求此几何体的表面积,并画出此几何体的主视图和俯视图(写出各顶点字母).

正确答案

见解析

解析

(1)设,则--------------------2’

,解得:-----------------------6’

(2)

---------------------------10’

主视图与俯视图各得2分.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

棱锥的底面是正三角形,边长为1,棱锥的一条侧棱与底面垂直,其余两条侧棱与底面所成角都等于,设中点。

(1)求这个棱锥的侧面积和体积;

(2)求异面直线所成角的大小.

正确答案

见解析

解析

(1)

,……………………. 2分

,………………………….    3分

,………………….  5分

……………….       6分

(2)取中点E,连接DE,则

为异面直线所成角(或其补角)。………………….8分

中,,………………………….       10分

,则,…………………….      12分

因此异面直线所成角的大小为

……………………………. 14分

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

直三棱柱的底面为等腰直角三角形,分别是的中点。

求:

(1)异面直线所成的角;

(2)直三棱柱的体积。

正确答案

见解析

解析

(1)取的中点,连,则,        ………………1分

直线所成的角的大小等于异面直线所成的角的大小,即(或其补角)即为所求,……………………3分

由题意易知,…………………5分

平面

,即为直角三角形,…………………6分

 ∴…………………8分

异面直线所成的角为 ,……………………9分

(2)直三棱柱的体积……………………14分

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,在等腰梯形中, 边上一点,且沿折起,使平面⊥平面

(1)求证:⊥平面

(2)若的中点,试求异面直线所成的角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

平面,如图,分别以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则易得各点的坐标为,设

是平面的一个法向量,由可得

可得

又因为是平面的一个法向量,

所以平面⊥平面

(2)由(1)知的中点的坐标为

所以异面直线所成的角的余弦值为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的左、右顶点分别是A、B,P是双曲线右支x轴上方的一点,连结AP交椭圆于点C,连结PB并延长交椭圆于点D.

(1)若a=2b,求椭圆C1及双曲线C2的离心率;

(2)若ΔACD和ΔPCD的面积相等,求点P的坐标(用a,b表示)。

正确答案

见解析。

解析

(1)∵a=2b,∴在椭圆C1中,

∴离心率                                

在双曲线C2中,     ∴离心率       

(2)设P、C的坐标分别为

由题意知A、B的坐标分别为(-a,0)、(a,0) 

∵△ACD和△PCD的面积相等            

代入椭圆方程得:

即:               …①

由P(x0,y0)在双曲线的右支上可得:

即:                    ……②

将②代入①化简得:

或-a(舍去)      

                                 

∴点P的坐标为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图5所示,在三棱锥中,,平面平面于点

(1)求三棱锥的体积;

(2)证明△为直角三角形。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为平面平面,平面平面平面

所以平面

边上的中点为,在△中,因为

所以

因为

所以

所以△的面积

因为

所以三棱锥的体积

(2)

证法1:

因为,所以△为直角三角形。

因为

所以

连接,在中,

因为

所以

由(1)知平面,又平面

所以

中,因为

所以

中,因为

所以

所以为直角三角形,

证法2:

连接,在中,因为

所以

在△中,

所以,所以

由(1)知平面

因为平面

所以

因为

所以平面

因为平面,所以

所以为直角三角形,

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,用半径为cm,面积为cm2的扇形 铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计),该容器最多盛水多少?(结果精确到0.1 cm3

正确答案

见解析

解析

设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r,则由题意得R=,由

;…………2分

;………………5分

;……………………8分

所以该容器最多盛水1047.2 cm3    ………………12分

(说明:用3.14得1046.7毫升不扣分)

知识点

空间几何体的结构特征
下一知识点 : 空间点、线、面的位置关系
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