• 空间几何体的三视图、表面积和体积
  • 共1381题
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1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B为菱形,且∠A1AB=60°,AC=AB,D是AB的中点。

(1)求证:平面A1DC⊥平面ABC;

(2)求证:BC1∥平面A1DC。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:∵ABB1A1为菱形,且∠A1AB=60°,

∴△A1AB为正三角形,

∵D是AB的中点,∴AB⊥A1D,

∵AC=BC,D是AB的中点,∴AB⊥CD,

∵A1D∩CD=D,∴AB⊥平面A1DC,

∵AB⊂平面ABC,∴平面A1DC⊥平面ABC,

(2)证明:连结C1A,设AC1∩A1C=E,连结DE。

∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形,∴E为AC1中点,

在△ABC1中,又∵D是AB的中点,∴DE∥BC1, 

∵DE⊂平面A1DC,BC1不包含于平面A1DC,

∴BC1∥平面A1DC,

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知向量都是非零向量,“”是“”的(   )

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

正确答案

B

解析

因为向量都是非零向量,若,则向量的夹角为,所以;若,则的夹角为,当的夹角为时,,则“”是“”的必要不充分条件。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

在如图所示的组合体中,三棱柱的侧面是圆柱的轴截面,是圆柱底面圆周上不与重合的一个点。

(1)求证:无论点如何运动,平面平面

(2)当点是弧的中点时,求四棱锥与圆柱的体积比。

正确答案

见解析

解析

(1)∵侧面是圆柱的的轴截面,是圆柱底面圆周上不与重合的一个点,∴

又圆柱母线平面 平面,∴

,∴平面

平面,∴平面平面

(2)设圆柱的底面半径为 ,母线长度为

当点是弧的中点时,

,

,   ∴

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝;则第件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)

正确答案

66;

解析

设珠宝数构成了一个数列{an},则有a1=1,a2=a1+5=6,a3=a2+5+4=15,a4=a3+5+2×4=28,a5=a4+5+3×4=45,a6=a5+5+4×4=66,…,

an=an-1+5+4(n-2),所以an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+…+(n-2)]=2n2-n.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD且PA=4,则PC与底面ABCD所成角的正切值为  。

正确答案

解析

连接AC,则

∵PA⊥底面ABCD,

∴∠PCA是PC与底面ABCD所成角,

∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,

∴AC=2

∵PA=4,

∴tan∠PCA===

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知单位向量的夹角为,当取得最小值时x=        ,

正确答案

1

解析

∵单位向量的夹角为,∴,∴,则当时,取得最小值。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,棱柱的侧面是菱形,底面是边长为4的等边三角形,且

(1)求证:平面平面

(2)设是棱上的点,且平面,当时,求与平面 所成的角的正切值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:侧面是菱形,,又

平面,所以平面平面,                          6分

(2)记的交点为,连结

平面与平面所成的角为,                8分

平面的中点,的中点。

因为底面是边长为4的等边三角形,

中,

与平面 所成的角的正切值为,                            13分

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设,若=(λ∈R),则λ的值为  。

正确答案

解析

由已知得G是三角形的重心,因此=+),

由于,因此设=k=+),

那么可得=+=+(+1)•

=(λ∈R),

∴k=,∴λ=1+=

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知,则的夹角为,则          。

正确答案

解析

由题意,,所以

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为            。

正确答案

解析

该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分,所以该几何体的体积为

知识点

空间几何体的结构特征
下一知识点 : 空间点、线、面的位置关系
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