- 空间几何体的三视图、表面积和体积
- 共1381题
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B为菱形,且∠A1AB=60°,AC=AB,D是AB的中点。
(1)求证:平面A1DC⊥平面ABC;
(2)求证:BC1∥平面A1DC。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:∵ABB1A1为菱形,且∠A1AB=60°,
∴△A1AB为正三角形,
∵D是AB的中点,∴AB⊥A1D,
∵AC=BC,D是AB的中点,∴AB⊥CD,
∵A1D∩CD=D,∴AB⊥平面A1DC,
∵AB⊂平面ABC,∴平面A1DC⊥平面ABC,
(2)证明:连结C1A,设AC1∩A1C=E,连结DE。
∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形,∴E为AC1中点,
在△ABC1中,又∵D是AB的中点,∴DE∥BC1,
∵DE⊂平面A1DC,BC1不包含于平面A1DC,
∴BC1∥平面A1DC,
知识点
已知向量、
都是非零向量,“
”是“
”的( )
正确答案
解析
因为向量都是非零向量,若
,则向量
的夹角为
,所以
;若
,则
与
的夹角为
或
,当
与
的夹角为
时,
,则“
”是“
”的必要不充分条件。
知识点
在如图所示的组合体中,三棱柱的侧面
是圆柱的轴截面,
是圆柱底面圆周上不与
、
重合的一个点。
(1)求证:无论点如何运动,平面
平面
;
(2)当点是弧
的中点时,求四棱锥
与圆柱的体积比。
正确答案
见解析
解析
(1)∵侧面是圆柱的的轴截面,
是圆柱底面圆周上不与
、
重合的一个点,∴
,
又圆柱母线平面
,
平面
,∴
,
又,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
;
(2)设圆柱的底面半径为 ,母线长度为
,
当点是弧
的中点时,
,
, ∴
,
知识点
在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝;则第件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用
表示)
正确答案
66;
解析
设珠宝数构成了一个数列{an},则有a1=1,a2=a1+5=6,a3=a2+5+4=15,a4=a3+5+2×4=28,a5=a4+5+3×4=45,a6=a5+5+4×4=66,…,
an=an-1+5+4(n-2),所以an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+…+(n-2)]=2n2-n.
知识点
四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD且PA=4,则PC与底面ABCD所成角的正切值为 。
正确答案
解析
连接AC,则
∵PA⊥底面ABCD,
∴∠PCA是PC与底面ABCD所成角,
∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,
∴AC=2,
∵PA=4,
∴tan∠PCA==
=
。
知识点
已知单位向量的夹角为
,当
取得最小值时x= ,
正确答案
1
解析
∵单位向量的夹角为
,∴
,
,∴
,则当
时,
取得最小值。
知识点
如图,棱柱的侧面
是菱形,底面
是边长为4的等边三角形,且
。
(1)求证:平面平面
;
(2)设是棱
上的点,且
平面
,当
时,求
与平面
所成的角的正切值。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:侧面
是菱形,
,又
故平面
,所以平面
平面
, 6分
(2)记与
的交点为
,连结
。
平面
,
与平面
所成的角为
, 8分
平面
,
,
为
的中点,
为
的中点。
因为底面是边长为4的等边三角形,
则中,
,
,
,
故与平面
所成的角的正切值为
, 13分
知识点
如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2
,设
∥
,若
=
+λ
(λ∈R),则λ的值为 。
正确答案
解析
由已知得G是三角形的重心,因此=
(
+
),
由于∥
,因此设
=k
=
(
+
),
那么可得=
+
=
•
+(
+1)•
,
∵=
+λ
(λ∈R),
∴k=,∴λ=1+
=
。
知识点
已知,则
与
的夹角为
,则
。
正确答案
解析
由题意,,
,所以
知识点
已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为 。
正确答案
解析
该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分,所以该几何体的体积为
。
知识点
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