- 空间几何体的三视图、表面积和体积
- 共1381题
如图，在长方体
（1）求证：
（2）求证：平面
（3）求四面体
正确答案
见解析
解析
（1）证明：连
则
（2） 由已知得
由长方体的特征可知：
（3）四面体D1B1AC的体积
知识点
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
正确答案
解析
解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥
且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形
棱锥的高为3
故棱锥的体积V=
故答案为：
知识点
A
B
C
D
正确答案
解析
∵
知识点
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
正确答案
解析
由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥
且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形
棱锥的高为3
故棱锥的体积V=
知识点
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，
（1）若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C
（2）设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面
正确答案
解析
（1）因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，
又因为B1C⊥A1B ，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，
又B1C
（2）设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF。
因为A1B//平面B1DE， A1B
所以
又因为
知识点
如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 。
正确答案
解析
由三视图知，几何体是半个圆锥，
圆锥的底面半径是1，母线长是2，
∴圆锥的高是
∴圆锥的体积是
知识点
如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
正确答案
见解析。
解析
（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC。
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1
知识点
在如图所示的四棱锥
（1）求异面直线
（2）求证：平面
（3）求直线
正确答案
见解析。
解析
（1）∵
∴异面直线
所以
∵
∴
又
由已知可求得
∴在
即异面直线
（2）∵
∴
又
∴
∵
∴
又
所以平面
（3）
取
由（Ⅱ）知
则
所以
∴
即直线
知识点
已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
如图连接A1B，则有A1B∥CD1，
∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，
设AB=1，
则A1E=AE=1，∴BE=
由余弦定理可知：cos∠A1BE=
故选C。
知识点
已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是 cm3。
正确答案
12
解析
由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。
∴
故答案为12。
知识点
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