- 抛物线的标准方程和几何性质
- 共169题
如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点。
(1)若点的纵坐标为2,求;
(2)若,求圆的半径。
正确答案
见解析
解析
本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分12分。
(1)抛物线的准线的方程为,
由点的纵坐标为,得点的坐标为
所以点到准线的距离,又。
所以.
(2)设,则圆的方程为,
即.
由,得
设,,则:
由,得
所以,解得,此时
所以圆心的坐标为或
从而,,即圆的半径为
知识点
O为坐标原点,F为抛物线C:y2=的焦点,P为C上一点,若|PF|=,则△POF的面积为( )。
正确答案
解析
利用|PF|=,可得xP=.
∴yP=.∴S△POF=|OF|·|yP|=.
故选C.
知识点
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数(a-b)<b)。
(1)当a=1,b=2时,求曲线在点(2,)处的切线方程。
(2)设是的两个极值点,是的一个零点,且,
证明:存在实数,使得 按某种顺序排列后的等差数列,并求
正确答案
见解析
解析
本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。
(1)解:当a=1,b=2时,
因为f’(x)=(x-1)(3x-5)
故f’(2)=1
f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2
(2)证明:因为f′(x)=3(x-a)(x-),
由于a<b.
故a<.
所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.[
不妨设x1=a,x2=,
因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点,
故x3=b.
又因为-a=2(b-),
x4=(a+)=,
所以a,,,b依次成等差数列,
所以存在实数x4满足题意,且x4=.
知识点
如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为,点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分。
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)由题意知得
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为OM过AB的中点,而且直线OM的方程为x-y=0,所以设线段AB的中点为Q(m,m)。
由题意,设直线AB的斜率为k(k≠0)。
由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1。
所以直线AB方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0。
由
消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m。
从而|AB|=·|y1-y2|=。
设点P到直线AB的距离为d,
则。
设△ABP的面积为S,
则S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·。
由=4m-4m2>0,得0<m<1。
令u=,0<u≤,则S=u(1-2u2)。
设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,
则S′(u)=1-6u2。
由S′(u)=0,得,
所以S(u)max=。
故△ABP面积的最大值为
知识点
如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=时,切线MA的斜率为.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O)。
正确答案
见解析
解析
(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为,且切线MA的斜率为,所以A点坐标为,故切线MA的方程为.
因为点M(,y0)在切线MA及抛物线C2上,
于是,①
.②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B,x1≠x2,由N为线段AB中点知,③
.④
切线MA,MB的方程为
,⑤
⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
,.
因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,
所以.⑦
由③④⑦得
,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足.
因此AB中点N的轨迹方程为.
知识点
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p=_________
正确答案
2
解析
设直线AB:,代入得,又∵ ,
∴ ,解得,解得(舍去)
知识点
若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=__________;准线方程为__________。
正确答案
2;x=-1
解析
根据抛物线定义,∴p=2,又准线方程为x==-1,故填2,x=-1.
知识点
若抛物线的焦点在直线上,则____;的准线方程为____。
正确答案
4
x=-2
解析
略
知识点
已知抛物线上有一点到焦点的距离为。
(1)求及的值。
(2)如图,设直线与抛物线交于两点,且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点,连接.试判断的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)焦点, ,………………3分
,代入,得………………5分
(2)联立,得:
,即………………6分
,
=,
,…………………9分
,………………11分
的面积………………13分
知识点
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