- 由数列的前几项求通项
- 共778题
已知数列的前项和为,,,、、总成等差数列。
⑴求;
⑵对任意,将数列的项落入区间内的个数记为,求。
正确答案
见解析。
解析
解:⑴,、、总成等差数列,
所以,=()+()
因为,所以=()+(),
即
又因为,,,,
所以数列是首项等于1,公比=3的等比数列
,即
⑵由⑴得,
时,,所以,任意,
任意,由,即…
(,
可取、、 ,所以
知识点
等差数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列。
则a4的值为( )
正确答案
解析
由题意可得 a1 =3,a2 =8,a3=13,故此等差数列的公差为5,故a4=a3+d=18,
故选A。
知识点
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),(其中p为非零常数,n∈N*)。
(1)判断数列是不是等比数列?
(2)求an;
(3)当a=1时,令,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn。
正确答案
见解析。
解析
(1)由an+2=p•得=p•
令cn=,则c1=a,cn+1=pcn。
∵a≠0,
∴c1≠0,故=p(非零常数),
数列是等比数列
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1•pn﹣1=a•pn﹣1,
即=apn﹣1,
当n≥2时,an=•…•a1=(apn﹣2)×(apn﹣3)×…×(ap0)×1=an﹣1,
∵a1满足上式,
∴an=an﹣1,n∈N*,
(3)∵=•=(apn)×(a•pn﹣1)=a2p2n﹣1,
∴当a=1时,bn==np2n﹣1。
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1,①
p2Sn=1×p3+…+(n﹣1)p2n﹣1+n×p2n+1②
∴当p2≠1,即p≠±1时,①﹣②得:(1﹣p2)Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1,
知识点
已知数列的首项,若,,则 。
正确答案
,或
解析
略
知识点
在2012年8月15日那天,某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:
由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:,且m+n=20,则其中的n= 。
正确答案
10
解析
=(9+9.5+m+10.5+11)=(40+m),=(11+n+8+6+5)=(30+n)
∵其线性回归直线方程是:,
∴(30+n)=﹣3.2×(40+m)+40,
即30+n=﹣3.2(40+m)+200,又m+n=20,
解得m=n=10
故答案为:10。
知识点
设函数的定义域为,若对于任意、,当时,恒有,则称点为函数图像的对称中心,研究函数的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为……………………( )
正确答案
解析
略
知识点
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a8=2,S11= 。
正确答案
11
解析
由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2,
故S11===11
故答案为:11
知识点
已知函数,数列{an}满足a1=3a,an+1=f(an),设,数列{bn}的前n项和为Tn。
(1)求b1,b2的值;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)求证:。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵f(x)=(a>0),a1=3a,an+1=f(an),
∴a2=f(a1)==a。
由bn=得b1=,b2=…2分
(2)∵an+1=,bn=,
∴bn+1====…4分
又b1=,故对一切正整数n,都有bn>0,
∴lgbn+1=2lgbn,
又lgb1=lg=﹣lg2≠0,
∴{lgbn}是以2为公比,首项为﹣lg2的等比数列。
故lgbn=(﹣lg2)×2n﹣1=lg
∴bn=
(3)由(2)得Tn=+++…+,
当n≤3时,Tn≤++=<;
当n>3时,Tn=+++…+=+[++…+],
又当n>3时,2n﹣1=(1+1)n﹣1>1++>1+(n﹣1)+1=n+1,
∴Tn<+[++…+]
=+
=+[1﹣]<+=
综上,Tn<
知识点
设数列,,,已知,,,,,()。
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对任意,为定值;
(3)设为数列的前项和,若对任意,都有,求实数的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)因为,,所以(), …………………(1分)
所以,,
, …………………………………(2分)
即数列是首项为,公比为的等比数列, …………………………(3分)
所以。 ………………………………………………………(4分)
(2)解法一:, ……………………………………(1分)
因为,所以,,
猜测:()。 ……………………………………………………(2分)
用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立; ………………………………………(3分)
②假设当()时结论成立,即,那么当时,,即时结论也成立。 …………………(5分)
由①,②得,当时,恒成立,即恒为定值,…………(6分)
解法二:, ……………………………………(1分)
所以,………………………………(4分)
而,所以由上述递推关系可得,当时,恒成立,即恒为定值,………………………………………………………………………(6分)
(3)由(1)、(2)知,所以,…………(1分)
所以,
所以, …………………………………………(2分)
由得,
因为,所以, ……………………(3分)
当为奇数时,随的增大而递增,且,
当为偶数时,随的增大而递减,且,
所以,的最大值为,的最小值为。 …………………(4分)
由,得,解得。 …………(6分)
所以,所求实数的取值范围是
知识点
数列{an}的前n项和为Sn,
(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{nbn}的前n项和Tn;
(3)若cn=﹣an,P=,求不超过P的最大整数的值。
正确答案
见解析。
解析
(1) 因为
当n=1时,2a1=﹣1,则a1=﹣,
当n≥2时,,
所以2an﹣an﹣1=﹣n﹣1,即2(an+n)=an﹣1+n﹣1,
所以,而b1=a1+1=,…
所以数{bn}是首项为,公比为的等比数列,
所以,
(2) 由(1)得。
所以 ①
②…
②﹣①得:…
(3)由(1)知
∴cn=n
而==
==,
所以,
故不超过P的最大整数为2013.…
知识点
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