由数列的前几项求通项
共778题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数在上的最大值为（）。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；

（3）设数列的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有成立。

正确答案

见解析。

解析

（1）

，

当时，由知或，

当时，则，时，，在上单调递减，

所以

当时，，时，，时，，

∴在处取得最大值，即

综上所述，（）。

（2）当时，欲证，只需证明

∵

，

所以，.

所以，当时，都有成立。

（3）当时，结论显然成立；

当时，由（II）知

。

所以，对任意正整数，都有成立。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数n是 ( )

A4009

B4010

C4011

D4012

正确答案

解析

由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,

, 故n的最大值为4010.

另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，过点P(1,0)作曲线C: 的切线，切点为,设点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为,设在x轴上的投影是；…；依此下去,得到一系列点,,…,,…,设点的横坐标为.

（1）试求数列｛｝的通项公式；（用的代数式表示）

（2）求证：

（3）求证：（注：）。

正确答案

见解析。

解析

（1） ,若切点是,则

切线方程为.

当n=1时,切线过点(1,0),即,得

当n>1时,切线过点,即,解得.

数列是首项为，公比为的等比数列，

故所求通项 .

（2）由（1）知

（3）设,则,

两式相减得，

. 故.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

在等差数列中，，则的值为（）

正确答案

解析

试题分析：设等差数列的公差为，则，则。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 13 分

某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积，前四年每年以的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加.设第)年新城区的住房总面积为，该地的住房总面积为。

（1）求的通项公式；

（2）若每年拆除，比较与的大小。

正确答案

见解析。

解析

（1）设第年新城区的住房建设面积为，则当时，

当时，.

所以, 当时，

当时，

故

（2）时，，，显然有

时，，，此时.

时，，

所以,时，；时，.时，显然

故当时，；当时，.

知识点

由数列的前几项求通项

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