- 由数列的前几项求通项
- 共778题
在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,且A, B, C成等差数列。
(1)若且,求的值;
(2)若,求的取值范围。
正确答案
(1)6(2)
解析
(1)A、B、C成等差数列,∴
又,∴, …………………………2分
由得,,∴① ………………………4分
又由余弦定理得
∴,∴ ② ………………………6分
由①、②得, ……………………………………8分
(2)由(1)得,∴,即,
故= ……………………………10分
=, …………………………12分
由且,可得,∴,
即,∴的取值范围为。
知识点
定义:对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列具有“性质”;不论数列是否具有“性质”,如果存在数列与不是同一数列,且满足下面两个条件:
(1)是的一个排列;
(2)数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”。
给出下面三个数列:
①数列的前项和;
②数列:1,2,3,4,5;
③数列:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.
具有“性质”的为 ;具有“变换性质”的为 .
正确答案
解析
略
知识点
公差不为零的等差数列的前项和为,若是与的等比中项,,则等于_______.
正确答案
60
解析
略
知识点
已知函数
(1)求的极值;
(2)若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围;
(3)设各项为正的数列满足:,求证:。
正确答案
见解析。
解析
解析:(1),
令,
当是增函数;
当是减函数;
∴,无极小值。
(2)①当时,即,
由(1)知上是增函数,在上是减函数,
………7分
又当
时,,
∴的图象在上有公共点,
解得
②当时,上是增函数,
∴
所以原问题等价于
又 ∴无解
综上,实数a的取值范围是。
(3)令=1,由(Ⅰ)知,
,假设,
则,故
从而
即。
知识点
已知函数,当时,函数取得极大值。
(1)求实数的值;
(2)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得。试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;
(3)已知正数,满足,求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
。
正确答案
见解析。
解析
(1). 由,得,此时.
当时,,函数在区间上单调递增;
当时,,函数在区间上单调递减。
函数在处取得极大值,故.………………………3分
(2)令,………4分
则.
∵函数在上可导,存在,
使得.
,
∵当时,,单调递增,;
∵当时,,单调递减,;
故对任意,都有.…………………………8分
(3)用数学归纳法证明。
①当时,,且,,
,由(Ⅱ)得,即
,
当时,结论成立. …………………………9分
②假设当时结论成立,即当时,
. 当时,设正数满足,令,
,则,且.
>
>
…………………………13分
当时,结论也成立。
综上由①②,对任意,,结论恒成立. …………………………14分
知识点
数列的前n项和记为Sn,,点(Sn,)在直线上,n∈N*。
(1)若数列是等比数列,求实数t的值;
(2)设,在(1)的条件下,求数列的前n项和;
(3)设各项均不为0的数列中,所有满足的整数i的个数称为这个数列的“积异号数”,令(),在(2)的条件下,求数列的“积异号数”.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,当时,有,
两式相减,得,
所以,当时,是等比数列,要使时是等比数列,
则只需,从而得出。
(2)由(1)得,等比数列的首项为,公比,∴
∴
∴ ①
上式两边乘以3得 ②
①-②得
∴
(3) 由(2)知,∵
∵,,∴
∵,
∴数列递增.
由,得当时,cn>0.
∴数列的“积异号数”为1.
知识点
设数列的前项和为,则下列说法错误的是 。
①若是等差数列,则是等差数列;
②若是等差数列,则是等差数列;
③若是公比为的等比数列,则也是等比数列且公比为;
④若是公比为的等比数列,则也是等比数列且公比为。
正确答案
②③④
解析
略
知识点
已知等差数列数列的前项和为,等比数列的各项均为正数,公比是,且满足:。
(1)求与;
(2)设,若满足:对任意的恒成立,求的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由已知可得,消去得:,解得或
(舍),从而
(2)由(1)知: 。
∵对任意的恒成立,即:恒成立,整理得:
对任意的恒成立,即:对任意的恒成立。
∵在区间上单调递增,。
的取值范围为。
知识点
设函数在上的最大值为an(n=1,2,…)。
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对任意n∈N*(n≥2),都有成立。
正确答案
见解析。
解析
(1)解法1:∵
当n=1时,f1'(x)=(1﹣x)(1﹣3x)
当时,f1'(x)≤0,即函数f1(x)在上单调递减,
∴,
当n=2时,f2'(x)=2x(1﹣x)(1﹣2x)
当时,f2'(x)≤0,即函数f2(x)在上单调递减,
∴
解法2:当n=1时,,则
当时,f1'(x)≤0,即函数f1(x)在上单调递减,∴,
当n=2时,,则=2x(1﹣x)(1﹣2x)
当时,f2'(x)≤0,即函数f2(x)在上单调递减,
∴
(2)令fn'(x)=0得x=1或,
∵当n≥3时,且当时fn'(x)>0,
当时fn'(x)<0,
故fn(x)在处取得最大值,
即当n≥3时,=,
当n=2时(*)仍然成立,
综上得
(3)当n≥2时,要证,只需证明,﹣﹣﹣﹣﹣
∵
∴对任意n∈N*(n≥2),都有成立。
知识点
设实数满足:,则的最小值是
正确答案
解析
略
知识点
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