二次函数的应用
共461题

· 二次函数的应用

二次函数的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是

A20

B22

C24

D36

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，其中e为自然对数的底数.

（1）若是增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数上的最小值；

（3）求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知在上恒成立。

又，则在上恒成立，

即在上恒成立. 而当时，，所以，

于是实数的取值范围是. ………………………………4分

（2）当时，则.

当，即时，；

当，即时，.

则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. ……6分

因为，所以，

①当，即时，在[]上单调递减，

所以

②当，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以

③当时，在[]上单调递增，所以.

综上，当时，；

当时，；

当时，. …………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知，当时，，所以

可得 ………………………………11分

于是

……………………………………14分

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率是

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数。

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）

则的最小正周期，

且当时单调递增。

即为的单调递增区间（写成开区间不

扣分）。

（2）当时，

当，即时。

所以，

为的对称轴。

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数。

（1）当时，求函数的最小值；

（2）证明：对x1，x2∈R+，都有；

（3）若，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1）时，，()，

则。

令，得。

当时，，在是减函数，

当时，，在是增函数，

所以在时取得最小值，即。 ……………………4分

（2）因为，

所以。

所以当时，函数有最小值。

x1，x2∈R+，不妨设，则

。 ……………………8分

（3）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当时，由（2）知命题成立。

ⅱ）假设当( k∈N*)时命题成立，

即若，则。

当时，

，，…，，满足。

设，

由（2）得[来

=。

由假设可得，命题成立。

所以当时命题成立。

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

所以若，则，………………13分

（证法二）若，

那么由（2）可得

。

……………………13分

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

定义在上的函数满足：①当时，②

，设关于的函数的零点从小到大依次记为，则________.

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知满足则

的最大值为( )

正确答案

解析

已知满足则可化为

；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知

，，当且仅当取等号，即或

时，的最大值为.选Ａ.

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

(1)求函数的零点的个数；

(2)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，对任意，求证：

正确答案

见解析。

解析

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于、，当长最小时，求直线的方程；

（3）设、是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线、分别交于轴于点（）和（），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）因为点到直线的距离为，

所以圆的半径为，

故圆的方程为.

（2）设直线的方程为，即，

由直线与圆相切，得，即，

，

当且仅当时取等号，此时直线的方程为。

(3)设，，则，，，

直线与轴交点，，

故为定值2。

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

若函数满足，且时，

；函数，则函数与的

图象在区间内的交点个数共有个。

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

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